定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

### 【基础篇】第15题（选择题） 15．下列反常积分收敛的是（）。 （A） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\ln ^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$

### 【强化篇】第15题（选择题） 15．下列反常积分中发散的是 ． （A） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^{2} x}$ （D） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x+2) \ln ^{2}(x+2)}$

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设 $D$ 是由 $y=|x|$ 及 $y=1$ 围成的有界区域，计算二重积分 $$ $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-x \cos y-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $$

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．若函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime}(x)+a f(x)=\int_{x}^{0} f(t) \mathrm{d} t, a>0$ ，求 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．

### 【基础篇】第15题（填空题） 15．设 $f(x)=\sin x$ ，若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x, x \in[0, \pi]$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(1+a_{2 n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1+\int_{0}^{x}(1+t)^{\frac{1}{r}} \mathrm{~d} t}{x}-\frac{1}{\sin x}\right]$ ．

### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，$f(x)$ 具有一阶连续导数，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=-3, f^{\prime}(x)= \ln \left(1+x^{2}\right)-x \int_{0}^{1} g(x t) \mathrm{d} t$ ，则（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点 （B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点 （C）$(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 （D）以上结论均不正确

### 【基础篇】第16题（填空题） 16． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{n^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right]=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第16题（选择题） 16．下列反常积分中收敛的是 ． （A） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （B） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ （C） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ （D） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$

### 【基础篇】第17题（填空题） 17． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+9 i^{2}}=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $p$ 的取值范围，使得 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin \frac{\pi}{x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{\ln ^{\beta} x}$ 收敛。

### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内的和函数是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}-\frac{y}{6}=\frac{x y^{7}}{6}$ 的一个解，求该级数的和函数．

### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已知 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 存在，且 $f(x)=x^{2}+\mathrm{e}^{x} \lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设存在 $0<\theta<1$ ，使得 $\int_{0}^{x} e^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta x}, x>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{n^{2}}}+\mathrm{e}^{\frac{4 x^{2}}{n^{2}}}+\cdots+\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)$ ，求： （1）$f(x)$ 的表达式； （2）曲线 $y=c^{r^{3}} f(x)$ 的拐点。

### 第180题 下列函数在指定区间上不存在定积分的是 （A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ． （B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ． （D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.