定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

### 【基础篇】第13题（选择题） 13．下列反常积分中，发散的是（ ）． （A） $\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$

### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，在 $x=0$ 处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, \varphi(x) \left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处 $($ ． （A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导但 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 （D）可导且 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续

### 【强化篇】第13题（填空题） 13．设 $f(x, y)$ 可微，$p(x, y), p_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲面 $x=f(x, y)$ 上的点，则（ ）。 （A） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)+\left[f\left(p_{0}\right)-\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ $\_\_\_\_$ （B） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)-\left[f\left(p_{0}\right)-\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ （C） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)+\left[f\left(p_{0}\right)+\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ （D） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)-\left[f\left(p_{0}\right)+\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$