定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 非负有界，$\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_{n}+n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b_{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^{3}+x y+x^{2}-2 x+1=0$ 确定并且满足 $y(1)=0$ 的函数，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{3}}{\int_{1}^{x} y(t) \mathrm{d} t}=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第3题（解答题） 3．设 $S(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)=|\arcsin (\sin x)|$ ． （1）写出 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的表达式； （2）计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ．

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．已知函数 $f(x, y)=x|x|+x|y|+y|x|+y|y|$ ，则以下命题： （1） $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=f(0,0)$ ； （2）$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=0$ ； （3）$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,0)}=1$ ； （4）$\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}=0$ ． 正确命题的个数为（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 相互独立且均服从 $U[1,4], \Phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_{i}-5 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=$ ． （A）$\Phi(x)$ （B）$\Phi(\sqrt{3} x)$ （C）$\displaystyle \Phi\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$ （D）$\displaystyle \Phi\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)$

### 【基础篇】第30题（选择题） 30．设 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{x(1+x)} \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{1-\ln 2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{\ln 2}$ （C）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{1-\ln 2}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{(1-\ln 2) \mathrm{e}}$

### 第31题 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第32题（解答题） 32．设函数 $f(x)=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．

### 【强化篇】第35题（解答题） 35．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t+a \mathrm{e}^{x^{2}}}{x^{b}}=-\frac{1}{2}$ ，求 $a, b$ 的值．

### 【强化篇】第37题（解答题） 37．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 上可导，$f(0)=0$ ，且存在反函数，其反函数为 $g(x)$ 。若 $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1$ ．求 $f(x)$ ．

### 【强化篇】第4题（解答题） 4．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}\left[\mathrm{e}^{(1-x)^{2}}-1\right] \sin t \mathrm{~d} t}{x^{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-1\right)}$ ．

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(1+\frac{x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{0}^{1} \frac{(1+x) \ln ^{2}(1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x, K=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ，则 ． （A）$M>N>K$ （B）$N>K>M$ （C）$K>M>N$ （D）$K>N>M$

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．过点 $(p, \sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线（见图），设该曲线与切线及 $y$ 轴所围成图形的面积为 $S_{1}$ ，曲线与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成图形的面积为 $S_{2}$ ，则 ． （A） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{1}{3}$ （B） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{1}{2}$ （C） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{2}{3}$ （D） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=1$

### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $y=y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}=1$ ，求曲线 $y=y(x)$ 与 $x$ 轴正半轴之间的平面图形的面积及该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积．

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且有水平浙近线 $y=b \neq 0$ ，则 ． （A）当 $a>0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ （B）当 $a>0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{a}{b}$ （C）当 $a<0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ （D）当 $a<0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{a}{b}$

### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}, \cdots$ 相互独立，且均服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，若根据中心极限定理，有 $$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{a \sum_{i=1}^{n}\left(X_{2 i}-X_{2 i-1}\right) \leqslant \sqrt{n} x\right\}=\Phi(x),$ $$ 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设函数 $f(x)$ 在点 $x=3$ 的邻域内可微，且 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 3} f^{\prime}(x)=4016$ ．求 $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\int_{3}^{x}\left[t \int_{t}^{3} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t}{(3-x)^{3}} .$ $$

### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设函数 $y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+\frac{1}{x^{2}} y=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 满足 $\displaystyle y\left(\frac{1}{2}\right)=0$ 的解。 （1）求 $y=y(x)$ 的表达式；公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （2）求曲线 $y(x)$ 的斜渐近线。

## 第616题 (高等数学 - 选择题) 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 （A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。 （B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。 （C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。 （D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。 答题 区

### 第643题 设 $f(x)$ 有连续的导数，$f(0)=0$ ，区域 $\Omega$ 由柱面 $x^{2}+y^{2}=t^{2}(t>0)$ 和两平面 $z= 0, z=1$ 所围成，则 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ 等于 （A）$\pi f^{\prime}(0)$ ． （B）$\pi f(0)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f(0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f^{\prime}(0)$ ．