对弧长的曲线积分的概念与性质（第一型曲线积分）

### 【强化篇】第13题（填空题） 13．设 $L$ 为曲线 $y=2 \sqrt{1-x^{2}}$ 上从点 $(0,2)$ 到点 $(1,0)$ 的一段弧，则曲线积分 $\int_{L}(2 y+1) \mathrm{d} x+ (3 x+2) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第19题（填空题） 19．设 $f(x)$ 有连续导数，且 $f(0)=0$ ，若对于平面内的任意简单封闭曲线 $L$ ，均有曲线积分 $\oint_{L}\left[f(x)-\mathrm{e}^{x}\right] y^{2} \mathrm{~d} x-2 y f(x) \mathrm{d} y=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $I_{1}=\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} x+(6 x y-6 x) \mathrm{d} y, I_{2}=\int_{L}\left(6 x^{2} y+6 x y+x\right) \mathrm{d} x+f(x, y) \mathrm{d} y$ 。已知曲线积分 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 均在整个 $x O y$ 平面内与路径无关，且 $f(0,0)=0$ ，求函数 $f(x, y)$ 的极值．

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+z) y \mathrm{~d} s=$ ． （A） $2 \pi$ （B）$-\pi$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$ （D）$\displaystyle -\frac{2 \pi}{3}$

### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设 $\Gamma$ 为空间圆周 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \\ x+y+z=a\end{array}(a>0)\right.$ ，则空间第一型曲线积分 $\oint_{\Gamma} x^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\Gamma$ 是空间圆周 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=\frac{3}{2} a\end{array}(a>0)\right.$ ，则 $\oint_{\Gamma}(2 y z+2 z x+2 x y) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第6题（填空题） 6．设 $\Gamma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x=y$ 的交线，则 $\oint_{\Gamma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第602题 设曲线 $C$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ，则线积分 $\oint_{C}\left(x^{2}+y^{2}+2 x y\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ． 603设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+2 y)^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． □ 604已知曲线 $L$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}=1$ 的交线，则 $\oint_{L} x^{2} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． $\theta^{\infty}$ 纠错笔记若曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内与路径无关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 答题 区

## 第602题 (高等数学 - 填空题) 设曲线 $C$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ，则线积分 $\oint_{C}\left(x^{2}+y^{2}+2 x y\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ． 603设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+2 y)^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． □ 604已知曲线 $L$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}=1$ 的交线，则 $\oint_{L} x^{2} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． $\theta^{\infty}$ 纠错笔记若曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内与路径无关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 答题 区

## 第606题 (高等数学 - 填空题) 设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

### 第646题 设曲线 $L$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，其周长为 $l$ ，则 $\oint_{L}(b x+a y)^{2} \mathrm{~d} s$ 等于 （A）$(a+b) l$ ． （B）$\left(a^{2}+b^{2}\right) l$ ． （C）$a^{2} b^{2} l$ ． （D）$a b l$ ． 答题 区

## 第646题 (高等数学 - 选择题) 设曲线 $L$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，其周长为 $l$ ，则 $\oint_{L}(b x+a y)^{2} \mathrm{~d} s$ 等于 （A）$(a+b) l$ ． （B）$\left(a^{2}+b^{2}\right) l$ ． （C）$a^{2} b^{2} l$ ． （D）$a b l$ ． 答题 区

### 第647题 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记

### 第647题 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记

## 第647题 (高等数学 - 选择题) 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记

### 第651题 下列曲线积分 （1） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． 中，在平面 $D: x^{2}+y^{2}>0$ 上与路径无关的有 （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．

## 第651题 (高等数学 - 选择题) 下列曲线积分 （1） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． 中，在平面 $D: x^{2}+y^{2}>0$ 上与路径无关的有 （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．

### 【强化篇】第7题（解答题） 7．计算曲线积分 $\oint_{\Gamma}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \\ x+y+z=R\end{array}(R>0)\right.$ ．

### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}, \partial D$ 为 $D$ 的正向边界，则 $\displaystyle \oint_{\partial D} \frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(4 y \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x), g(x)$ 二阶导数连续，$f(0)=0, g(0)=0$ ，且对于平面上任一简单闭曲线 $L$ ，均有 $$ $\oint_{L}\left[y^{2} f(x)+2 y \mathrm{e}^{x}+2 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y=0 .$ $$ （1）求 $f(x), g(x)$ 的表达式； （2）设 $L_{1}$ 为任一条从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的曲线，计算 $$ $\int_{L_{1}}\left[y^{2} f(x)+2 y \mathrm{e}^{\mathrm{r}}+2 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y .$ $$