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幂级数及其收敛性（阿贝尔定理、收敛半径、收敛区间）
第 581 题
## 第581题 (高等数学 - 填空题)
已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．
第 582 题
### 第582题
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$
583幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
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第 582 题
## 第582题 (高等数学 - 填空题)
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$
583幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
◯纠错笔记
第 584 题
## 第584题 (高等数学 - 填空题)
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）．
答题 区
第 585 题
### 第585题
幂级数
$$
1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots
$$
的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
第 585 题
## 第585题 (高等数学 - 填空题)
幂级数
$$
1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots
$$
的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
第 586 题
### 第586题
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 586 题
## 第586题 (高等数学 - 填空题)
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 587 题
### 第587题
把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## ✓ 纠错笔记
第 587 题
## 第587题 (高等数学 - 填空题)
把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## ✓ 纠错笔记
第 588 题
### 第588题
$f(x)=$\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$ ．$
答题区 ◯纠错笔记
第 588 题
## 第588题 (高等数学 - 填空题)
$f(x)=$\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$ ．$
答题区 ◯纠错笔记
第 589 题
### 第589题
设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ．
## $(v)$
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第 589 题
## 第589题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ．
## $(v)$
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第 631 题
## 第631题 (高等数学 - 选择题)
若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是
（A） $8,(-2,2]$ ．
（B） $8,[-2,2]$ ．
（C） $4,(-2,2]$ ．
（D） $8,[-2,2)$ ．
第 632 题
### 第632题
级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$
（A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
## $\sigma^{\circ}$
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第 632 题
## 第632题 (高等数学 - 选择题)
级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$
（A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
## $\sigma^{\circ}$
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第 8 题
### 【基础篇】第8题（填空题）
8．设軍级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x+1)^{n}$ 的收敛区间为 $(-3,1)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{2 n}$ 的收敛区间为 $\_\_\_\_$ ．