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幂级数及其收敛性（阿贝尔定理、收敛半径、收敛区间）
第 10 题
### 【基础篇】第10题（填空题）
10．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}(x+1)}$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}, x \in(0,2)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n} a_{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}=$
$\_\_\_\_$ ．
第 12 题
### 【强化篇】第12题（选择题）
12．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} m a_{n}(x+2)^{n}$ 在 $x=-\sqrt{2}$ 处（ ）。
（A）绝对收敛
（B）条件收敛
（C）发散
（D）敛散性不能确定
第 13 题
### 【基础篇】第13题（解答题）
13．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}+2}{2^{n}(2 n+1)} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$ ．
第 13 题
### 【强化篇】第13题（选择题）
13．若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n}$ 条件收敛，则真级数 $\sum_{n=0}^{\infty} m a_{n}(x+1)^{n}$ 的收敛区间为（ ）。
（A）$(-3,1)$
（B）$(-1,3)$
（C）$(-2,2)$
（D）$(-4,2)$
第 14 题
### 【强化篇】第14题（选择题）
14．设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, \sum_{n-0}^{\infty} b_{n} x^{n}$ 的收敛半径均为 $r(0
第 15 题
### 【强化篇】第15题（选择题）
15．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}$ ，则 $f^{(2 n)}(0)(n=1,2, \cdots)=(\quad)$ ．
（A）$n!$
（B） 0
（C）$(2 n)!$
（D）$(2 n-1)!$
第 20 题
### 【强化篇】第20题（解答题）
20．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_{n}$ ，证明：当 $|x|<1$ 时，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收敛，并求其和函数。
第 21 题
### 【基础篇】第21题（填空题）
21．欧拉方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+3 y=0$ 满足条件 $y(1)=0, y^{\prime}(1)=\sqrt{2}$ 的解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 25 题
### 【强化篇】第25题（解答题）
25．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{2^{n}}$ 的和。
第 26 题
### 【强化篇】第26题（解答题）
26．设曲线 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{n}}$ 与其在点 $(1,1)$ 处的切线和 $y$ 轴所围成的平面图形的面秎为 $a_{n}$ ，其中 $n=2$ ， $3, \cdots$ ．
（1）求 $a_{n}$ 的表达式；
（2）求暒级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ．
第 27 题
### 【强化篇】第27题（解答题）
27．已知函数 $\displaystyle y=f(x)=x \ln x+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+1) \cdot(n+1)!}$ 。求 $f(x)$ 的定义域，证明 $y=f(x)$ 满足微分方程 $x y^{\prime}-y=x \mathrm{e}^{x}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} y(x)=0$ ．
第 28 题
### 【强化篇】第28题（解答题）
28．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 展开成 $x+1$ 的幂级数，求该幂级数的收敛域，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(x+1)^{\mathrm{a}}$ 的和函数 $S(x)$ 。
第 29 题
### 【强化篇】第29题（填空题）
29．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
第 30 题
### 【强化篇】第30题（解答题）
30．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n(n+1)}{2^{n}}$ 的和．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（选择题）
4．设常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，$r$ 是实数，则（ ）．
（A）当 $|r| \geqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 发散
（B）当 $|r| \leqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散
（C）当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1} r^{2 n-1}$ 发散时，$|r| \geqslant 1$
（D）当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时，$|r| \leqslant 1$
第 578 题
### 第578题
设有正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足
$$
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q \neq 1$
$$
则该级数收敛的充要条件是 $q$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
579已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为
$\_\_\_\_$ ．
第 578 题
## 第578题 (高等数学 - 填空题)
设有正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足
$$
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q \neq 1$
$$
则该级数收敛的充要条件是 $q$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
579已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为
$\_\_\_\_$ ．
第 580 题
### 第580题
设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
$Q^{\circ}$
第 580 题
## 第580题 (高等数学 - 填空题)
设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
$Q^{\circ}$
第 581 题
### 第581题
已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．