← 返回知识点列表

二重积分的概念（曲顶柱体体积、平面薄片质量）

考研数学二强化题库 · 共 22 道习题 · 第1页/共2页

### 第147题设积分区域 $D: x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1$ ，其中 $x \geqslant 0 . D_{1}$ 是积分区域 $D$ 在 $y \geqslant 0$ 的部分区域，则（A） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（B） $\iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（C） $\iint_{D} \sin ^{3} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} \sin ^{3} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（D） $\iint_{D} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{1}} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

### 第148题 D$ 是由 $y=\ln x, y=0, x=2$ 所围成的区域，则二重积分 $I=\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$-\ln 2$ ．（B）$\frac{1}{\ln 2}$ ．（C） $\ln 2$ ．（D）无法计算．建役荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}

### 第149题设 $D$ 是由直线 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=1$ 所围成，记 $I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma, I_{3}=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 的大小关系为（A）$I_{1}

### 第150题 D: x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ ，则二重积分 $I=\iint_{D}\left(x y^{2}+5 \mathrm{e}^{x} \sin ^{3} y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$\frac{\pi}{2}$ ．（B）$\frac{\pi}{3}$ ．（C）$\frac{\pi}{4}$ ．（D）$\frac{\pi}{5}$ ．建议答题时问$

### 第153题设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于（A）$x y$ ．（B） $2 x y$ ．（C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ．（D）$x y+1$ ．

### 第154题设 $0

### 第163题如果二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 有一个特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ ，则（A）$a=-1, b=1$ ．（B）$a=1, b=-1$ ．（C）$a=2, b=1$ ．（D）$a=2, b=2$ ．建议答题时问

### 第164题已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于（A） $\sin 2 x$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．（C）$\displaystyle \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．（D）$\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．建议荅题时问

### 第215题 \iint_{D}$\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 由不等式 $x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 和 $x^{2}+(y+1)^{2} \geqslant 1$ 所确定．$ 建议答题时问 $\leqslant 8 \mathrm{~min}

### 第216题求积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

### 第217题计算 $\iint_{D}|\cos (x+y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ ．建设谷题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 铼估

### 第218题 \iint_{D} f(x, y) $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)= \begin{cases}x^{2} y, & 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant x, \\ 0, & \text { 其他，}\end{cases}$$ $$ D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+\right. $$ $\left.y^{2} \geqslant 2 x\right\}$ ．建议答题时问 $\leqslant 7 \mathrm{~min}$ 解估$

### 第219题求二重积分 $I=\iint_{D}\left[(x+y)^{2}+y^{2} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D=\{(x$ ， y） $\left.\mid 0 \leqslant a y \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a y, a>0\right\}$ ．

### 第220题计算二重积分 $I=\iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

### 第222题设 $f(t)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} x\left[1+\frac{f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y(x \geqslant 0, y \geqslant 0, t> 0)$ ，求 $f(t)$ ．

### 第255题设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ a & 2 & 0\end{array}\right]$ 有二重特征值，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．支似容题时门 ## 评结管暄区域 sul错暫记

### 第63题 D$ 是由直线 $y=x, y=\pi, x=0$ 所围成的平面区域，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{\pi-x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．$

### 第64题 D$ 为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆与 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 的下半圆所围成的区域，则二重积分 $I= \iint_{D}\left(\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}-x^{7} \cos ^{4} y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．$

### 第65题设 $a>0, f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 表示全平面，则 $\iint_{D} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。建议答题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$

### 第67题设 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ 所确定的平面区域，则 $\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． ## 衡题
区域

‹ 上一页 1 2 下一页 ›