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原函数与不定积分的概念

考研数学二强化题库 · 共 54 道习题 · 第1页/共3页

### 第111题若 $f(x)$ 的一个原函数为 $\arctan x$ ，则 $\int x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=$ （A） $\arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．（B）$x \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．（C）$\displaystyle -\frac{1}{2} \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．（D）$\displaystyle -\frac{1}{2} x \arctan \left(1-x^{2}\right)+C$ ．建议荅题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第112题若 $f^{\prime}\left(\sin ^{2} x\right)=\cos ^{2} x$ ，则 $f(x)=$ （A） $\displaystyle \sin x-\frac{1}{2} \sin ^{2} x+C$ ．（B）$\displaystyle x-\frac{1}{2} x^{2}+C$ ．（C） $\cos x-\sin x+C$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2}-x+C$ ．

### 第113题设 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，且 $a \neq 0$ ，则 $\displaystyle \int \frac{f(a x)}{a} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a^{3} x}+C$ ．（B）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a^{2} x}+C$ ．（C）$\displaystyle \frac{\sin a x}{a x}+C$ ．（D）$\displaystyle \frac{\sin a x}{x}+C$ ．铗估

### 第114题设 $F(x)$ 是函数 $f(x)=\max \left\{x, x^{2}\right\}$ 的一个原函数，则（A）$x=0$ 和 $x=1$ 都是 $F(x)$ 的间断点．（B）$x=0$ 是 $F^{\prime}(x)$ 的间断点．（C）$x=1$ 是 $F^{\prime}(x)$ 的间断点．（D）$F^{\prime}(x)$ 处处连续．

### 第115题下列函数中必为奇函数的是（A） $\int_{a}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ．（B） $\int_{0}^{x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t$ ．（C） $\int_{0}^{x} t \ln \left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right) \mathrm{d} t$ ．（D） $\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{y} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} y$ ．建议答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第116题设函数 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中以 $T$ 为周期的函数为（A） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．（B） $\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．（C） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．（D） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．

### 第117题设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数（若下式中用到 $f^{\prime}(x)$ ，则设 $f^{\prime}(x)$ 存在），则以下结论中不正确的是（A）$f^{\prime}(x)$ 必以 $T$ 为周期．（B） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期．（C） $\int_{0}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期．（D） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$ 必以 $T$ 为周期．

### 第118题设 $f(x)$ 有连续导数，$f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0 . F(x)=\int_{0}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，且当 $x \rightarrow 0$时，$F^{\prime}(x)$ 与 $x^{k}$ 为同阶无穷小，则 $k$ 等于（A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．建议答题时问

### 第122题设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，下述 4 个命题（1）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(x)$ 为奇函数．（2）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(x)$ 为偶函数．（3）对任意正常数 $a$ 及常数 $\omega>0, \int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 $\Leftrightarrow f(x)$ 有周期 $\omega$ ．（4） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 对 $x$ 有周期 $\omega \Leftrightarrow \int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．正确的命题个数为（A） 4 ．（B） 3 ．（C） 2 ．（D） 1 ．

### 第125题设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t(x>0)$ ，则 $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 在 $x=2$ 时的函数值为（A）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln ^{2} 2$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln 3$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2} \ln ^{2} 3$ ．

### 第126题 f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则（A） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 一定成立．（B） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 不可能成立。（C） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 仅当 $f(x)$ 是单调函数时成立．（D） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 仅当 $f(x)=0$ 时成立。$

### 第127题设 $I_{1}=\int_{0}^{a} x^{3} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{0}^{a^{2}} x f(x) \mathrm{d} x, a>0$ ，则（A） $2 I_{1}=I_{2}$ ．（B）$I_{1}I_{2}$ ．（D）$I_{1}=I_{2}$ ．

### 第128题设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，记 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x, I_{3}= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x$ ，则（A）$I_{1}

### 第129题设 $f^{\prime \prime}(u)$ 连续，已知 $n \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ ，则 $n$ 应是（A）2．（B） 1 ．（C） 4 ．（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

### 第133题曲线 $y=2 \sqrt{x-1}(1 \leqslant x \leqslant 2)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为（A）$\displaystyle \frac{4}{3} \pi$ ．（B）$\displaystyle \frac{8 \pi}{3}(2 \sqrt{2}-1)$ ．（C）$\displaystyle \frac{8 \pi}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{4 \pi}{3}(2 \sqrt{2}-1)$ ．

### 第141题 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=0$ ，且当 $x=0$ 时，$z=\sin y ; y=0$ 时，$z=\sin x$ ，则 $z(x, y)=$$ （A） $\sin x$ ．（B） $\sin y$ ．（C） $\sin x+\sin y$ ．（D） $\sin x+\sin y+C$ ．$

### 第152题设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi \operatorname{tarcsin} y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （B） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\pi \arcsin y}^{\pi} f(x, y) \mathrm{d} x$. （C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi \arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．

### 第155题若已知 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{\pi}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\pi} x f(\sin y) \mathrm{d} y=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．（C）$\displaystyle \frac{4}{\pi^{2}}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}$ ．建议荅题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ ## 解答题

### 第156题设 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（C） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} f(r, \theta) r \mathrm{~d} r$ ．建议答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第157题 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（C） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2 \sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．$

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