数列极限的定义（ε-N语言）

### 第208题 设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域有定义，极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在，$g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $g(0,0)=0$ ．证明：$z=f(x, y) \cdot g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． 建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第21题 已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\ln x$ 相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第227题 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，$f(x) \neq 0$ ，且对 $(-\infty,+\infty)$ 内的任意 $x$ 与 $y$ ，恒有 $f(x+y)=f(x) f(y)$ ．又设 $f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(0)=a \neq 0$ ． 试证明对一切 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)$ 存在，并求 $f(x)$ 。

### 第3题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第30题 数列 $\displaystyle \left\{\frac{(1+n)^{3}}{(1-n)^{2}}\right\}$ 的最小项的项数 $n=$ $\_\_\_\_$ ，且该项的数值为 $\_\_\_\_$ ． 建设荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 神佔

### 第4题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第5题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^{2}\right)+\ln \left(1-x+x^{2}\right)}{\sec x-\cos x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第52题 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$ 建议荅题时问$

### 第53题 设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有定义，且 $$ $\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+o(\rho),$ $$ 其中 $\rho=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}-x, y_{0}\right)}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第54题 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 $\mathrm{d} f(0,0)=$ $\_\_\_\_$ ． 建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第55题 设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ ，则 $2 f_{x}^{\prime}(0,0)+ f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$。

### 第7题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第71题 微分方程 $y^{\prime \prime}+y=2 \mathrm{e}^{x}+4 \sin x$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$。 建放签题时风 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 种 估 熟练 $]$ 还可以 $]$ 有点难 $[$ 不会！

### 第76题 设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+x^{2} y=\mathrm{e}^{x}$ 且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)-x}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第8题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cot ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第82题 82设函数 $\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则函数 $f(\varphi(x))$ 在 $x=0$ 处 （A）不连续． （B）连续但不可导． （C）可导且导数为 0 ． （D）可导且导数不为 0 ． 建议谷题时吅

### 第84题 x=0$ 是 $f(x)=\frac{2}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}$ 的 （A）跳跃间断点． （B）可去间断点． （C）无穷间断点． （D）振荡间断点．$

### 第85题 下列命题 （1）设 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续． （2）设 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)\right]=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续． （3）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，$g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必不连续． （4）设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处都不连续，则 $f(x)+g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必不连续．其中正确的命题个数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D）大于等于 3 ．

### 第86题 在下列函数中，导数 $f^{\prime}(x)$ 在点 $x=0$ 处不连续的是 （A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{\frac{4}{3}} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ （B）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ （D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+x)}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ 建设谷题时间

### 第87题 已知 $x=0$ 是函数 $\displaystyle f(x)=\frac{a x-\ln (1+x)}{x+b \sin x}$ 的可去间断点，则常数 $a, b$ 的取值范围是 （A）$a=1, b$ 为任意实数． （B）$a \neq 1, b$ 为任意实数． （C）$b=-1, a$ 为任意实数． （D）$b \neq-1, a$ 为任意实数． 建议答题时问