三角级数、三角函数系的正交性

### 第161题 161 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．

### 第171题 171 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

### 第2题 2．设 $a$ 是常数，则当函数 $\displaystyle f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值时，必有 $a=$ （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．

### 第220题 220 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．

### 第221题 221 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解 （A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ． （D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ． □

### 第222题 222 在方程 （1）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$ ， （2）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$ ， （3）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$ ， （4）$\displaystyle x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$ ， 中是线性微分方程是 （A）（1）与（2）． （B）（2）与（3）． （C）（3）与（4）． （D）（4）与（1）．

### 第251题 251 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为 （A）-1 ． （B） 1 ． （C） $1+\sqrt{2}$ ． （D） $1-\sqrt{2}$ ．

### 第252题 252 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）$e$ ． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ． 253设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是

### 第32题 32 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第35题 35 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． 36 曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

### 第40题 40 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． □ □ □ □ □

### 第41题 41 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$。 □

### 第592题 $592 y^{\prime \prime}-4 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ． 593已知 $\displaystyle y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x, y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解，$y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是 $\_\_\_\_$ ．

### 第613题 $613 f(x)=\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$。

### 第620题 620 设 $f(x)=\arctan x$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(x)=$ （A）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}+1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3 x^{2}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．

### 第626题 626 函数 $f(x)=\left(x^{2}+x-2\right)\left|x^{3}-4 x\right| \cdot \sin |x|$ 的不可导点为 $x=$ （A）-2 ． （B） 0 ． （C） 1 ． （D） 2 ．

### 第635题 635 差分方程 $\displaystyle y_{t+1}-2 y_{t}=5 \sin \frac{\pi}{2} t$ 的一个特解是 （A） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ． （B） $\displaystyle \bar{y}(t)=2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ． （C） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t-\cos \frac{\pi}{2} t$ ． （D） $\displaystyle \bar{y}(t)=-2 \sin \frac{\pi}{2} t+\cos \frac{\pi}{2} t$ ． 纠钱笔记

### 第636题 636 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 （A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。 （B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。 （C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。 （D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。

### 第647题 647 在如下四个级数 （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ． （2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ． （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ． 中，条件收敛的级数是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（1），（4）．

### 第648题 648 下列四个级数中，发散的级数是 （A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ． （B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ． （C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）． （D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ． 纠䦃笔记