定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）

### 第105题 105 设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$ ．

### 第11题 11 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ． --- （疑似OCR编号错误，以下内容可能属于其他题目） 11 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第113题 113 计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第190题 190 设 $n, m$ 为正整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． □

### 第195题 195 下列叙述错误的是 （A）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为奇函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为偶函数． （B）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为偶函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为奇函数． （C）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期且为奇函数，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数． （D）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期，又 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数．

### 第202题 202 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

### 第203题 203 下列四个反常积分 （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ． 中，收敛的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第204题 204 设有下列命题 （1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛． （3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。 （4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第207题 207 设 $\displaystyle a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=$ （A）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ． （B）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ． （C）$\displaystyle \left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ． （D）$\displaystyle (1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．

### 第271题 271 设积分区域 $$ $\begin{gathered}$ D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\ D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\} \end{gathered} $$ 记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$ （A）$I_{1}$ ． （B）$I_{2}$ ． （C）$I_{3}$ ． （D）$I_{4}$ ． 272已知平面域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x\left|+|y| \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}\right.$ ，记 $I_{1}=\iint_{D}\left(2 x^{2}+\tan x y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}\left(x^{2} y+2 \tan y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D}\left(|x y|+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则

### 第469题 469 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}, \cdots$ 独立均服从指数分布 $E(\lambda)$ ，记 $Z_{i}=X_{2 i}-X_{2 i-1}, i= 1,2,3, \cdots$ ，则 $\sum_{i=1}^{n} Z_{i}$ 近似服从正态分布 $N($ $\_\_\_\_$ ， ）．