数列极限的定义（ε-N语言）

### 第623题 623 设 $u_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 并设数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 无上界，则 （A）数列 $\displaystyle \left\{\frac{1}{u_{n}}\right\}$ 必有上界． （B）必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （C）对于任意给定的 $M>0$ ，满足 $u_{n}0$ ，满足 $u_{n}>M$ 的 $n$ 总有无限个．

### 第625题 625 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\left(\frac{1+a x}{1-a x}\right)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ \mathrm{e}, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a=$ （A）1． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C） 2 ． （D） e ．

### 第628题 628 设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶导数连续，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=2, g^{\prime \prime}(0)=1$ ，且设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{2 x}}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）不连续． （B）连续但不可导． （C）可导但导函数不连续． （D）导函数连续．

### 第629题 629 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，并且 $|f(x)| \leqslant 1-\sqrt{1-x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 在 $x=$ 0 处 （A）不连续． （B）连续而不可导． （C）可导但 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ． （D）$f^{\prime}(0)=0$ ．

### 第630题 630 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x f^{\prime}(x)}=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

### 第631题 631 已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解，则 （A）$q>0$ ． （B）$q \geqslant 0$ ． （C）$q<0$ ． （D）$q \leqslant 0$ ． 632 设 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是

### 第642题 642 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）（4）．

### 第649题 649 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 （A）$p>1$ ． （B）$p>2$ ． （C） $0\frac{1}{2}$ ．

### 第650题 650 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ （A）发散． （B）绝对收敛． （C）条件收敛． （D）敛散性与 $a$ 有关．

### 第659题 659 下列命题成立的是 （A）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （B）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （C）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个发散． （D）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个收敛。

### 第7题 $\displaystyle 7 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin ^{2} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第8题 8．如果函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin [\pi(x-1)]}{x-1}, & x<1 \\ \arcsin x+k, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ 处处连续，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第8题 $\displaystyle 8 I=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第99题 99 设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．