数列极限的定义（ε-N语言）

### 第28题 28 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x>0,\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$。 जेन्दिरुषि □

### 第286题 286 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{10}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第287题 287 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第29题 29 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第3题 3 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第30题 30．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第31题 31 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．

### 第4题 $\displaystyle 4 \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第49题 49 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

### 第5题 $5 \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第503题 503 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则可以作出分布函数 （A）$F(a x)$ ． （B）$F\left(x^{2}+1\right)$ ． （C）$F\left(x^{3}-1\right)$ ． （D）$F(|x|)$ ．

### 第554题 554 设 $X_{n}$ 表示将一硬币随意投掷 $n$ 次＂正面＂出现的次数，则 （A） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． （B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． （C） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． （D） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．

### 第578题 $\displaystyle 578 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-(x+1) \ln (x+1)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠籍笔记

### 第581题 $\displaystyle 581 f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+x}{x^{2 n}+1}$ 的不可导点的个数正好有 $\_\_\_\_$个．

### 第582题 582 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}h(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 并设 $h(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$h(0)=0, h^{\prime}(0)=0$ ．则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第6题 $\displaystyle 6 \quad I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第601题 601 在级数 （1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ， （2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ， （3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ， （4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$ 中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．

### 第618题 $\displaystyle 618 \lim _{x \rightarrow 1}\left(1-x^{2}\right) \tan \frac{\pi}{2} x=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （C）$\displaystyle \frac{4}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle \frac{6}{\pi}$ ．

### 第619题 619 下列命题 （1）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=0$ ． （2）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{f(x)}=\infty$ ． （3）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x))=0$ ． （4）设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=+\infty$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x)+g(x))=+\infty$ ． （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第622题 $\displaystyle 622 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\frac{n^{3}}{n-1}\right)=$ （A） 2 ． （B）-2 ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．