数列极限的定义（ε-N语言）

### 第141题 141 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是 （A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ． （B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ． （C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ． （D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ． 设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则

### 第143题 143 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．

### 第145题 145 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充要条件． （D）既非充分又非必要条件． □

### 第146题 146 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）极限不存在． （B）极限存在，但不连续． （C）连续，但不可导． （D）可导． □

### 第147题 147 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$ （A）$(2,1)$ ． （B）$(1,0)$ ． （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ． （D）$(3,2)$ ． 148设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则

### 第149题 149 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．

### 第15题 15 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第150题 150 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ．

### 第151题 151 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ．

### 第154题 154 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导． （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对．