数列极限的定义（ε-N语言）

### 第213题 213 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ （A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关． （B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关。 （C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关． （D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关． □ 纽貄笔记

### 第22题 22 设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为 $\_\_\_\_$。

### 第226题 226 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在． （D）可微．

### 第227题 227 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续． （B）不连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）不连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （D）不可微． □

### 第228题 228 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ （A）不存在． （B）等于 1 ． （C）等于 0 ． （D）等于 2 ．

### 第23题 23 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0 \\ 6, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 □

### 第230题 230 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）两个偏导数都不存在． （B）两个偏导数都存在但不可微． （C）偏导数连续． （D）可微但偏导数不连续． □

### 第231题 231 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （D）全微分存在但一阶偏导数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． 232 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y, & x y \neq 0, \\ 1, & x y=0,\end{array}\right.$ 则下列命题成立的个数为

### 第233题 233 已知函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0), ~ \lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0$ ， $y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的 （A）充分条件但非必要条件． （B）必要条件但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非必要也非充分条件．

### 第234题 234 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． （D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续．

### 第235题 235 设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但两个偏导数不存在． （C）两个偏导数存在但不可微。 （D）可微． 236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处

### 第237题 237 函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是 （A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在． （D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．

### 第238题 238 如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是 （A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在． （D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．

### 第239题 239 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ． （D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．

### 第243题 243 已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 （A）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ． （B）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=0$ ． （C）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ． （D）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=-1$ ．

### 第247题 247 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零． （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．

### 第25题 25 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．

### 第254题 254 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点． 纠锱笔记

### 第26题 26 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1, \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第27题 27 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0, \\ -1, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。 S纠铺笔记