📝 北京大学 2020年强基真题

正实数 $\displaystyle x, y, z, w$ 满足 $\displaystyle x \geq y \geq w$ ，且 $\displaystyle x+y \leq 2(w+z)$ ，则 $\displaystyle \frac{w}{x}+\frac{z}{y}$ 的最小值等于 。

在 $\displaystyle (2019 \times 2020)^{2021}$ 的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为 。

已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=4$ ，且对任意的 $\displaystyle n \geq 2$ 有 $\displaystyle a_{n}^{2}-a_{n-1} a_{n+1}=2^{n-1}$ ，则 $\displaystyle a_{2020}$ 的个位数字是 。

设 $\displaystyle a, b, c, d$ 是方程 $\displaystyle x^{4}+2 x^{3}+3 x^{2}+4 x+5=0$ 的 4 个复根，则 $\displaystyle \frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}$ 的值为 。

设等边三角形 $\displaystyle A B C$ 的边长为 1 ，过点 $\displaystyle C$ 作以 $\displaystyle A B$ 为直径的圆的切线交 $\displaystyle A B$ 的延长线于点 $\displaystyle D$ ， $\displaystyle A D\gt B D$ ，则三角形 $\displaystyle B C D$ 的面积为 。

设 $\displaystyle x, y, z$ 均不为 $\displaystyle \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi$ ，其中 $\displaystyle k$ 为整数，已知 $\displaystyle \sin (y+z-x), \sin (x+z-y), \sin (x+y-z)$ 成等差数列，则依然成等差数列的是 。

方程 $\displaystyle 19 x+93 y=4 x y$ 的整数解的个数为 。

从圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 上的点向椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 引切线，两切点间的线段成为切点弦，则椭圆 $\displaystyle C$ 内不与任何切点弦相交的区域面积为 。

使得 $\displaystyle 5 x+12 \sqrt{x y} \leq a(x+y)$ 对所有正实数 $\displaystyle x, y$ 都成立的实数 $\displaystyle a$ 的最小值为 ，

设 $\displaystyle P$ 为单位立方体 $\displaystyle A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的一点，则 $\displaystyle P A_{1}+P C_{1}$ 的最小值为 。

数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=9$ ，且对任意 $\displaystyle n \geq 1$ 有 $\displaystyle a_{n+2}=4 a_{n+1}-3 a_{n}-20$ ，其中前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}$ ，则函数 $\displaystyle S_{n}$ 的最大值等于 ．

设直线 $\displaystyle y=3 x+m$ 与椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ 交于 $\displaystyle A, B$ 两点，$\displaystyle O$ 为坐标原点，则三角形 $\displaystyle O A B$ 的面积的最大值为（ ）。

正整数 $\displaystyle n \geq 3$ 称为理想的，若存在正整数 $\displaystyle 1 \leq k \leq n-1$ 使得 $\displaystyle C_{n}^{k-1}, C_{n}^{k}, C_{n}^{k+1}$ 构成等差数列，其中 $\displaystyle C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数，则不超过 2020 的理想数个数为（ ）。

在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle \angle A=150^{\circ}, D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{2020}$ 依次为边 $\displaystyle B C$ 上的点，且 $\displaystyle B D_{1}=D_{1} D_{2}=D_{2} D_{3}=\cdots$ $\displaystyle =D_{2019} D_{2020}=D_{2020} C$ ，设 $\displaystyle \angle B A D_{1}=\alpha_{1}, \angle D_{1} A D_{2}=\alpha_{2}, \cdots$ ， $\displaystyle \angle D_{2019} A D_{2020}=\alpha_{2000}, \angle D_{2020} A C=\alpha_{2021}$ ， 则 $\displaystyle \frac{\sin \alpha_{1} \sin \alpha_{3} \cdots \sin \alpha_{2021}}{\sin \alpha_{2} \sin \alpha_{4} \cdots \sin \alpha_{2020}}$ 的值为（ ）。

函数 $\displaystyle f(\theta)=\sqrt{3+2 \sqrt{3} \cos \theta+\cos ^{2} \theta}+\sqrt{5-2 \sqrt{3} \cos \theta+\cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta}$ 的最大值为 ）。

方程 $\displaystyle \sqrt{x+5-4 \sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2 \sqrt{x+1}}=1$ 的实根个数为（ ）。

凸五边形 $\displaystyle A B C D E$ 的对角线 $\displaystyle C E$ 分别与对角线 $\displaystyle B D$ 和 $\displaystyle A D$ 交于点 $\displaystyle F$ 和 $\displaystyle G$ ，已知 $\displaystyle B F: F D=5: 4, A G: G D=1: 1, C F: F G: G E=2: 2: 3, S_{\triangle C F D}$ 和 $\displaystyle S_{\triangle A B E}$ 分别为 $\displaystyle \triangle C F D$ 和 $\displaystyle \triangle A B E$ 的面积，则 $\displaystyle S_{\triangle C F D}: S_{\triangle A B E}$ 的值等于 ．

设 $\displaystyle p, q$ 均为不超过 100 的正整数，则有有理根的多项式 $\displaystyle f(x)=x^{5}+p x+q$ 的个数为 。

满足对任意 $\displaystyle n \geq 1$ 有 $\displaystyle a_{n+1}=2^{n}-3 a_{n}$ 且严格递增的数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的个数为 。

设函数 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$ ，其中 $\displaystyle x, y, z$ 均为正实数，则有 。