📝 北京大学 2021年强基真题
第1题
已知 $\displaystyle O$ 为 $\displaystyle \triangle A B C$ 的外心，$\displaystyle A B 、 A C$ 与 $\displaystyle \triangle O B C$ 的外接圆交于 $\displaystyle D 、 E$ ．若 $\displaystyle D E=O A$ ，则 $\displaystyle \angle O B C=$ 。
第2题
方程 $\displaystyle y^{3}+f^{4}=d^{5}$ 的正整数解 $\displaystyle (y, f, d)$ 的组数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第3题
若实数 $\displaystyle a, b, c, d$ 满足 $\displaystyle a b+b c+c d+d a=1$ ，则 $\displaystyle a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2}$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第4题
已知 $\displaystyle Y=\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$ ，则 $\displaystyle Y$ 的个位数字是 。
第6题
已知实数 $\displaystyle x_{0} \in[0,1)$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{k}\right\}$ 满足：若 $\displaystyle x_{n-1}\lt \frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle x_{n}=2 x_{n-1}$ ，若 $\displaystyle x_{n-1} \geq \frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle x_{n}=2 x_{n-1}-1(n=1,2, \cdots)$ ．现知 $\displaystyle x_{0}=x_{2021}$ ，则可能的 $\displaystyle x_{0}$ 的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第7题
设 $\displaystyle y_{n}=12 \overbrace{22 \cdots 2}^{n}$ ．若 $\displaystyle 10^{9}-1 \mid y_{n}$ ，则 $\displaystyle n$ 的最小值为（ ）。
第8题
已知 $\displaystyle a 、 b 、 c$ 是二个不全相等的实数且满足 $\displaystyle a=a b+c 、 b=b c+a 、 c=c a+b$ ，则 $\displaystyle a+b+c=$ 。
第9题
$\displaystyle A D$ 为 $\displaystyle \triangle A B C$ 中 $\displaystyle \angle A$ 的平分线，过 $\displaystyle A$ 作 $\displaystyle A D$ 的垂线 $\displaystyle A H$ ，过 $\displaystyle C$ 作 $\displaystyle C E / / A D$ 交 $\displaystyle A H$ 于点 $\displaystyle E$ ，若 $\displaystyle B E$与 $\displaystyle A D$ 交于点 $\displaystyle F$ ，且 $\displaystyle A B=6, A C=8, B C=7$ ，则 $\displaystyle C F=$ 。
第10题
设 $\displaystyle a_{n}$ 是与 $\displaystyle \sqrt{\frac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数，$\displaystyle b_{n}$ 是与 $\displaystyle \sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数，记 $\displaystyle \left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和为 $\displaystyle S_{n},\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和为 $\displaystyle T_{n}$ ．则 $\displaystyle 2 T_{100}-S_{100}$ 的值为 。
第11题
设正整数 $\displaystyle n \leqslant 2021$ ，且 $\displaystyle n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数，则可能的 $\displaystyle n$ 的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第13题
现有 7 把钥匙和 7 把锁，用这些钥匙随机开锁，则 $\displaystyle D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第14题
设正整数 $\displaystyle m, n$ 均不大于 2021 ，且 $\displaystyle \frac{m}{n+1}\lt \sqrt{2}\lt \frac{m+1}{n}$ ，则这样的数组 $\displaystyle (m, n)$ 个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第15题
有三个给定的经过原点的平面，过原点作第四个平面 $\displaystyle \alpha$ ，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等，则这样的 $\displaystyle \alpha$ 的个数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第16题
若 $\displaystyle a, b, c$ 为非负实数，且 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=25$ ，则 $\displaystyle a+b+c$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第17题
已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=2, a_{n+1}=2^{a_{n}}$ ，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle b_{1}=5, b_{n+1}=5^{b_{n}}$ ，若正整数 $\displaystyle m$ 满足 $\displaystyle b_{m}\gt a_{25}$ ，则 $\displaystyle m$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第18题
若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{7}$ 为非负整数，则方程 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}=x_{1} x_{2} \cdots x_{7}$ 的解有 组。