📝 北京大学 2023年强基真题

一个凸十边形，任意三条对角线无公共交点，所有对角线可以把图形分成 个小多边形。

已知 $\displaystyle \mathrm{i}=\sqrt{-1}$ ，则 $\displaystyle 1+\cos x+i \sin x-\cos 2 x-i \sin 2 x+\cos 3 x+i \sin 3 x=0$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的解 $\displaystyle x$的个数 。

已知正整数数列 $\displaystyle a, b, c, d$ 严格递增，$\displaystyle (a\lt b\lt c\lt d)$ 且 $\displaystyle a+b+c+d$ 为 101 的倍数，$\displaystyle d \leq 101$ ，则这样的数组 $\displaystyle (a, b, c, d)$ 共有 个。

数列 $\displaystyle \left[\mathrm{a}_{n}\right]$ 满足 $\displaystyle \mathrm{a}_{1}=\frac{5}{2}, \mathrm{a}_{n+1}=a_{n}{ }^{2}-2$ ，则 $\displaystyle \left[\mathrm{a}_{2023}\right]$ 除以 7 的余数是 。

对于前 366 个正整数，$\displaystyle U=\{1,2, \ldots, 366\}$ ，互不交互的二元子集且元素和为 17 的倍数的最多子集数为 。

集合 $\displaystyle U=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ ，则 $\displaystyle U$ 的元素两两互素的三元子集个数有 个。

定义有理数复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理数复数为实部和虚部均为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理数，则三角形重心对应的复数是 。

方程 $\displaystyle x[x]=6$ 的实数解个数为 。

$\displaystyle \left[\frac{1^{2}}{2023}\right],\left[\frac{2^{2}}{2023}\right], \ldots,\left[\frac{2023^{2}}{2023}\right]$ 共 2023 个数中共有多少值 。

三个互不相同的正整数的最大公约数是 20 ，最小公倍数是 20000 ，这样的不同正整数组共有 个。

方程 $\displaystyle 24 x^{5}-15 x^{4}+40 x^{3}-30 x^{2}+120 x+1=0$ 的实数根的个数有 个。

函数 $\displaystyle f(x)=\min \left\{\sin x, \cos x,-\frac{1}{\pi} x+1\right\}$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的最大值是 。

已知集合 $\displaystyle S=\{(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)\}$ ，现有一个人在原点 $\displaystyle O(0,0)$ ，第 $\displaystyle n+1$ 天从第 $\displaystyle n$ 天的位置出发沿向量 $\displaystyle \frac{v}{4^{n}}$ 移动，$\displaystyle v \in S$ ，用 $\displaystyle S_{n}$ 表示第 $\displaystyle n$ 天这个人可能在多少个不同的位置上，则 $\displaystyle S_{2023}=$ 。

正整数 $\displaystyle x, y, z, \frac{x(y+1)}{z-1}, \frac{z(x+1)}{y-1}, \frac{y(z+1)}{x-1}$ 均为整数，则 $\displaystyle x y z$ 的最大值和最小值之和为 。

三角形一条高为 2 ，另一条高为 4 ，则三角形的内切圆半径的取值范围是 。

已知点 $\displaystyle C \in\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0\right\}, A(-1,0), B(1,0)$ ，延长 $\displaystyle A C$ 至 $\displaystyle D$ 使 $\displaystyle |C D|=3|B C|$ ，那么点 $\displaystyle D$ 到点 $\displaystyle E(4,5)$ 的距离的最小值和最大值之积为 。

$\displaystyle R(n)$ 表示正整数 $\displaystyle n$ 除以 $\displaystyle 2,3,4,5,6,7,8,9,20$ 的余数之和，则满足 $\displaystyle R(n)=R(n+1)$ 的两位数 $\displaystyle n$ 的个数为 。

已知 $\displaystyle a\lt b\lt c\lt d$ ，且 $\displaystyle x, y, z, t$ 是 $\displaystyle a, b, c, d$ 的一个排列，则 $\displaystyle (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-t)^{2}+(t-x)^{2}$ 得到的不同数共有（ ）个。

已知正整数 $\displaystyle x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{9}$ 且 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{9}=220$ ，则在 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5}$ 取到最大值的情况下，$\displaystyle x_{9}-x_{1}$ 的最小值是（ ）。