4.1 不定积分计算
4 一元函数积分学 · 共 24 题
第1题计算题
1．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sec ^{2} x}{4+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos ^{4} x \sin ^{4} x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\tan x}$ ．
复旦大学 1997上海师范大学 2000太原科技大学 2008武汉大学 2010武汉大学 2011
第2题计算题
2．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\cos x \sin ^{3} x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}(a b \neq 0)$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\tan x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos 2 x \sin x}$ ．
华东师范大学 2000扬州大学 2004福建师范大学 2005西北师范大学 2005太原理工大学 2006天津大学 2009新疆大学 2009广西民族大学 2011
+4
第3题计算题
3．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+4 \cos x}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x \sin ^{3} x}$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x+\sin x}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{5 \sin x+2 \cos x}{\sin x+3 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(2+\sin ^{2} x\right)}{\left(1+\sin ^{2} x\right)^{2}} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
郑州大学 2001中国地质大学 2002西北师范大学 2002西南大学 2003北京科技大学 2004北京科技大学 2011河南师范大学 2011温州大学 2012
+2
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arctan \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
中国人民大学 2006中国地质大学 2006华东水电 2009广西师范大学 2009河南师范大学 2009湖南农业大学 2010
第5题计算题
5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \arctan 2 x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int x \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
湖南师范大学 1998河海大学 2002兰州大学 2009广西民族大学 2009湖南师范大学 2009山西师范大学 2010华侨大学 2012
第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
（1） $\displaystyle \int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \cos ^{2} \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x \sin a x \cos b x \mathrm{~d} x\left(a \neq 0, b \neq 0, a^{2} \neq b^{2}\right)$ 。北京交大 2004）
新疆大学 2005新疆大学 2006中山大学 2008
第7题计算题
7．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\arcsin \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\arccos x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
湖南师范大学 2000华东理工大学 2001西南大学 2005中山大学 2007河北大学 2008杭州师大 2009杭州师大 2010湖南农业大学 2010
+1
第8题计算题
8．设 $\displaystyle n$ 为自然数，求下列不定积分的递推公式．
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（1）$\displaystyle I_{n}=\int \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \tan ^{4} \mathrm{~d} x$ 。
（2）$\displaystyle I_{n}=\int \sec ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ 。
（3）$\displaystyle I_{n}=\int x^{n} \cos x \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int x^{3} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（4）$\displaystyle I_{n}=\int(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
河南大学 2001湖北大学 2001华东师范大学 2003中国地质大学 2004上海理工 2005中国矿业大学 2005暨南大学 2007华南师大 2008
+1
第9题计算题
9．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x$ ．（湖南师大2010（b＝1），深圳大学 2006（ $\displaystyle a=1, b=1$ ），湘潭大学 2008（ $\displaystyle a=1, b=2$ ））
（2） $\displaystyle \int \cos (\ln x) \mathrm{d} x, \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int x \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x, \int x \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{\arctan x}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \frac{x \cos ^{3} x-\sin x}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
复旦大学 1997复旦大学 2002新疆大学 2004太原科技大学 2005暨南大学 2005南京理工大学 2006中国地质大学 2007南京航空 2007
+4
第10题计算题
10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int x^{2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
东华大学 2002北京交大 2002中科院武汉物理与数学研究所 2004山西大学 2004上海财经 2005上海师范大学 2006中山大学 2009深圳大学 2009
+2
第11题求解题
11．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)-\ln x}{x(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) \mathrm{d} x$ ．
四川大学 2000河南大学 2002华中师范大学 2006暨南大学 2006山东科技大学 2008河北大学 2009西南大学 2011南京航空航天大学 2012
+1
第12题求解题
12．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln ^{2} x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{2}} \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
华东师范大学 2001华南理工大学 2002扬州大学 2003西安理工 2004陕西师范大学 2005桂林电子科技 2007湘潭大学 2011暨南大学 2013
第13题求解题
13．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int \ln (\sqrt{x+2}) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int x \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \sqrt{x}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
合肥工大 2002华南理工大学 2003湖北大学 2004宁波大学 2012杭州师大 2013桂林电子科技 2013武汉大学 2013燕山大学 2013
第14题计算题
14．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{(1-x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\ln x-1}{(x+\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1-x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{dx}$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(1+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x}{x\left(2+x \mathrm{e}^{x}\right)} \mathrm{d} x$ ．
东南大学 2000云南大学 2001上海师范大学 2003湖南师范大学 2003电子科技大学 2003华东师范大学 2004深圳大学 2004电子科技大学 2005
+6
第15题计算题
15．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{a x}}} .(a \doteq 1$ ：桂林电子科技 2012，复旦大学 $\displaystyle 1998, a=2$ ：上海大学 2013）
上海师范大学 2002苏州科技大学 2007聊城大学 2008山东科技大学 2009聊城大学 2011湘潭大学 2013青岛大学 2014
第16题计算题
16．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{x} \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x} \frac{1+\sin x}{1-\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-a}} .(a=1$ ：河北大学 2010／2014，青岛大学 2005，南京大学 2002，$\displaystyle a=2$ ：四川师大 2013）
上海师范大学 2004南京农业大学 2008山东师范大学 2011武汉大学 2014
第17题计算题
17．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f\left(x^{2}-1\right)=\ln \frac{x^{2}}{x^{2}-2}$ ，且 $\displaystyle f(\varphi(x))=\ln (x)$ ，求 $\displaystyle \int \varphi(x) \mathrm{d} x$ 。
山西大学 2005曲阜师大 2005北京交大 2010湘潭大学 2012
第19题计算题
19．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}-2 x \cos \alpha+1}$（常数 $\displaystyle \alpha \neq k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ）．
重庆大学 2008
第20题计算题
20．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
（1） $\displaystyle \int \frac{x^{14}}{\left(1+x^{5}\right)^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x\left(1+x^{3}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{1}{x+x^{n+1}} \mathrm{~d} x$ ．（西南大学2004，山东科技2011（ $\displaystyle n=5$ ））
（4） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{4}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{4 x^{3}+x^{7}}{x^{8}+9} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(1-x)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（浙江大学 2014（ $\displaystyle n=2013$ ），南京师大 2005（ $\displaystyle n=100$ ），南京财大 2009（ $\displaystyle n=2009$ ），南京航空 2003（ $\displaystyle n=2003$ ））
天津大学 2004天津大学 2005武汉科技大学 2008浙江师范大学 2010河北大学 2011温州大学 2013
第21题求解题
21．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+x^{2}+x+1}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{3}-3 x^{2}+4} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{3}}$ ．（浙江理 $\displaystyle I$ 2013）
（4） $\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+1}{\left(x^{2}+2 x+5\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \int \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
河海大学 2004湖北大学 2004重庆大学 2005郑州大学 2006重広大学 2006湘潭大学 2007河南师范大学 2010广西师范大学 2011
+4
第22题计算题
22．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
（1） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int x^{3} \sqrt{4^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{2}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ．
（6） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4-x^{2}}}$ ．
中国科学院 1996浙江大学 2002南京航空航天大学 2006南京农业大学 2007河北大学 2007华侨大学 2010河北大学 2012
第23题计算题
23．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[4]{x})^{3}} \mathrm{dx}$ ．
（2） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{\sqrt{2+x-x^{2}} \mathrm{~d} x}{x}$ ．
（4） $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}(x+1)^{4}}}$ ．
（5） $\displaystyle \int \frac{x+2}{\sqrt{1+2 x}} \mathrm{dx}$ ．
上海财经大学 2004华侨大学 2009暨南大学 2010暨南大学 2012广西师范大学 2013
第24题求解题
24．求下列不定积分．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\max \{1, x\}} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int$ max $\displaystyle \{2,|x|\} \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int \mathrm{e}^{\max \{1, x\}} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int$ max $\displaystyle \{2,|x|\} \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int \max \{1,|x|\} \mathrm{d} x$ ．
西南交大 2005山西师范大学 2006中山大学 2010宁波大学 2011湖南师范大学 2011云南大学 2014