数列极限的定义（ε-N语言）

### 第1题 极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-\sin ^{x} x}{x^{2} \arctan x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第102题 设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有定义，且 $$ $\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+o(\rho),$ $$ 其中 $\rho=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-x_{0}\right)^{2}}$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}-y\right)}{y}=$ （A）$a$ ． （B）$a+b$ ． （C） $2 a$ ． （D） $2 b$ ． ## 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第103题 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）极限存在但不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）偏导数存在但不可微。 （D）可微． 祉估

### 第104题 设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{a}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是 （A）$\alpha<1$ ． （B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．

### 第105题 设 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}=-1$ ，则下列结论不正确的是 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处取极小值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点处不可微．

### 第108题 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处有定义，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}-1}=2$ ，则下列结论不正确的是 （A）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=0$ ． （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （D）$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极大值． 建设荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第11题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{3}+1, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}+1, & x>0,\end{array} y=f[f(x)]\right.$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第121题 对于常数 $k>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \tan \left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^{2}}\right)$ ． （A）绝对收敛． （B）条件收敛． （C）发散． （D）收敛性与 $k$ 的取值相关．

### 第131题 设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

### 第133题 设二元函数 $\displaystyle F(x, y)=\frac{1}{2 x} \varphi(y-x)$ ，且 $\displaystyle F(1, y)=\frac{y^{2}}{2}-y+5$ ．又设 $x_{1}>0, x_{n+1}=F\left(x_{n}\right.$ ， $\left.2 x_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ． （1）证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛； （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

### 第134题 设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=3+\frac{4}{x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求它的极限．

### 第136题 讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x\left(x^{2}-4\right)}{\sin \pi x}, & x>0, \\ \frac{x(x+1)}{x^{2}-1}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 的连续性并指出间断点的类型． 建议荅题时问 10 min

### 第139题 设函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3} f(u)}{f(x) \sin ^{3} u}$ ，其中 $u$ 是曲线 $y=f(x)$ 上点 $P(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距． 管題 区1或 筆記己

### 第141题 （1）证明：对于任意实数 $x$ ，均有 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$ ． （2）证明： $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且对任意正整数 $n(n \geqslant 2)$ ，均有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2 n-3)!!}{(2 n-2)!!}$ 。

### 第152题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 证明：若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．

### 第16题 已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\ln x$ 相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第169题 已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=1$ ，求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)$ 条件收敛。 将下列函数在指定点展为幂级数： （1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，在 $x=1$ 处； （2）$f(x)=2^{x}$ ，在 $x=1$ 处； （3）$\displaystyle f(x)=\ln \frac{1}{2+2 x+x^{2}}$ ，在 $x=-1$ 处。

### 第172题 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，满足：（1）数列 $\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ 有界；（2）$a_{n}$ 单调递减，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 建衩答题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 祉估

### 第180题 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，$f(x) \neq 0$ ，且对 $(-\infty,+\infty)$ 内的任意 $x$ 与 $y$ ，恒有 $f(x+y)=f(x) f(y)$ ．又设 $f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(0)=a \neq 0$ ． 试证明对一切 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)$ 存在，并求 $f(x)$ ．

### 第300题 已知随机变量 $X_{n}(n=1,2, \cdots)$ 相互独立且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^{n} X_{i} \leqslant \sqrt{n}\right\}$ 等于（结果用标准正态分布函数 $\Phi(x)$ 表示） （A）$\Phi(0)$ ． （B）$\Phi(1)$ ． （C）$\Phi(\sqrt{3})$ ． （D）$\Phi(2)$ ．