向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{array}\right]$ ．对 $\boldsymbol{A}$ 分别以列和行分块，记为 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right]=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{\beta}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{3}\end{array}\right]$ ，其中 $\left|\begin{array}{ll}a_{12} & a_{14} \\ a_{53} & a_{51}\end{array}\right| \neq 0 \cdot\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{13} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{51} & a_{53} & a_{5 S}\end{array}\right|=0$ ，则以下结论中： $$ \operatorname{Dr}(A)=2 ; $$ （3）$\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性相关； 所有正确结论的序号是（ （A）（1）（3） （C）（1）（4） （2）$\alpha_{2}, \alpha_{1}$ 线性无关； （4）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{s}$ 线性相关． （B）（2）（3） （D）（2）（4）

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，则下列说法错误的是（）。 （A）对任意的 $n$ 维列向量 $\xi$ ，有 $A \xi=0$ ，则 $A=0$ （B）对任意的 $n$ 维列向量 $\xi$ ，有 $\xi^{\mathrm{T}} A \xi=0$ ，则 $A=0$ （C）对任意的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，有 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ （D）对任意的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，有 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1$ ，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, k$ 是任意常数，则（ ）。 （A）$k \xi_{1}$ 仍是 $\boldsymbol{A}$ 对应 $\lambda=1$ 的特征向量 （B） $\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应 $\lambda=0$ 的特征向量 （C） $\boldsymbol{\xi}_{1}-\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应 $\lambda=2$ 的特征向量 （D）$\xi_{1}+\xi_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 对应 $\lambda=1$ 的特征向量

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 不可逆，且元素 $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0$ ，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}, k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数，则方程组 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 ． （A）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ （B）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{4}$ （C）$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{3}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{4}$ （D）$k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}+k_{3} \alpha_{4}$

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 是 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，记向量组（I）为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ，向量组（II）为 $A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \cdots, A \alpha_{1}$ ，则下列命题正确的是（ ）。 （A）若向量组（I）线性无关，则向量组（II）线性无关 （B）若向量组（II）线性无关，则向量组（I）线性无关 （C）若向量组（II）线性相关，则向量组（I）线性相关 （D）向量组（I）与向量组（II）具有不同的线性相关性

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．以下两个矩阵，可用同一可逆矩阵 $P$ 相似对角化的是（ ）。 （A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 3 维线性无关列向量，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}= 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ ## 第2章 矩阵

### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设3维列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 等价，记 $A=\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right], B=\left[\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right]$ ，则下列结论： （1）$A x=0$ 与 $B x=0$ 同解； （2）$A^{T} x=0$ 与 $B^{T} x=0$ 同解； （3）$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0$ 与 $A x=0$ 同解； （4）$\left[\begin{array}{c}A^{\mathrm{T}} \\ B^{\mathrm{T}}\end{array}\right] x=0$ 与 $A^{\mathrm{T}} x=0$ 同解． 所有正确结论的序号是（ ）。 （A）（1）（2） （B）（1）（3） （C）（2）（4） （D）（1）（2）（3）（4）

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right]$ ，向量 $\boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right]$ ，若齐次线性方程组 $A \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数为 1 。 （1）求常数 $a$ 的值及非齐次线性方程组 $A x=\beta$ 的解； （2）求一个正交变换 $x=Q y$ ，将二次型 $f(x)=x^{\top} A x$ 化为标准形，并写出该标准形．

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & t\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 2\end{array}\right]$ ． （1）$t$ 为何值时，矩阵 $A, B$ 等价？说明理由； （2）$t$ 为何值时，矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 相似？说明理由。

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2} x_{3}$ 经正交变换 $x=Q y$ 化为二次型 $$ g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1} y_{2}+a y_{3}^{2} . $$ （1）求 $a$ 的值； （2）求正交矩阵 $Q$ 。

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，$e=[1,1, \cdots, 1]^{\mathrm{T}}$ 。若方程组 $A y=e$ 有解，则对于（I） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 （II）$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0, \\ \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0,\end{array}\right.$ 说法正确的是（ ）。 （A）（I）的解都是（II）的解，但（II）的解未必是（I）的解 （B）（II）的解都是（I）的解，但（I）的解未必是（II）的解 （C）（I）的解不是（II）的解，且（II）的解也不是（I）的解 （D）（I）的解都是（II）的解，且（II）的解也都是（I）的解

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 6 \\ 4 & 4 & 4 \\ 0 & 8 & 9\end{array}\right] x$ ，其中 $x=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{0} \\ x_{8}\end{array}\right]$ ． （1）用正交变换 $x=Q y$ 将其化为标准形，并求出 $Q$ ； （2）求 $\displaystyle g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$ 的最大值，并求出一个最大值点、其中 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \neq 0$ 。

### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设齐次线性方程组 $$ $\text { (I) }\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+3 x_{3}+5 x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=0 $\end{array}\right.$ $$ 在线性方程组（I）的基础上增添一个方程 $a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0$ ，得 $$ $\text { (II) }\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+3 x_{3}+5 x_{4}=0, \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=0, \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=0, \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}+d x_{4}=0 . $\end{array}\right.$ $$ 问 $a, b, c, d$ 满足什么条件时，方程组（I），（II）是同解方程组？并求出此时方程组（II）的通解．

### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，已知 $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，且有二重特征值 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ ．求 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值、特征向量，并求 $A^{n}$ 。

### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 2 ，其主对角线元素之和为 $5, r(\boldsymbol{A})=2$ ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}} A x$ 满足条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 的最大值为（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{1}{5}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C） 2 （D） 3

### 【强化篇】第12题（选择题） 12．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实矩阵，则＂ $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵＂是＂ $\boldsymbol{A}$ 有 3 个相互正交的特征向量＂的（ ）。 （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件

### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a+2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right]$ ，若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．

### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设 2 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ ，且 $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的单位特征向量，则与矩阵 $A+\alpha_{1} \alpha_{1}^{\mathrm{T}}$ 相似的对角矩阵为（）。 （A）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}+1 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}+1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}+1\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}+1 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]$

### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $B$ 是 3 阶矩阵，齐次线性方程组 $B x=0$ 的解空间的维数为 $2, A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & a & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间的维数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ## 第4章 矩阵的秩