向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶正定矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 与 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 合同的充分必要条件为 ） （A）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 只有零解 （B）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0$ 有非零解 （C）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解 （D）齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=0$ 有非零解

### 【基础篇】第2题（填空题） 2．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{2}-a x_{3}\right)^{2}+\left(a x_{3}+x_{1}\right)^{2}$ 的秩为 2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第2题（解答题） 2．设3维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[5,3,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[1,3,-1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=[-2,2,-3]^{\mathrm{T}}$ 。且 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，满足 $A \alpha_{1}=\alpha_{2}, A \alpha_{2}=\alpha_{3}, A \alpha_{3}=\alpha_{4}$ ，求 $A \alpha_{4}$ 。

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ a & 4 & b \\ -3 & -6 & 8\end{array}\right]$ 有三个线性无关的特征向量，$\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，则（ ）． （A）$a=1, b=-2$ （B）$a=-1, b=2$ （C）$a=2, b=-1$ （D）$a=-2, b=1$ 3。设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，有特征值 $\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1$ ，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ ，以下 $k$ ， $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}_{2}+\boldsymbol{\xi}_{3}$ 的通解是

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．下列矩阵中与矩阵 $\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的是 ． $(\mathrm{A}) \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （B） $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]$ （C）$C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right]$ （D） $\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设 $\displaystyle \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\frac{3}{\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]^{\mathrm{T}} \neq \mathbf{0}$ ． （1）计算 $A^{2}$ ，并求 $A^{-1}$ ； （2）验证 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，并求 $\boldsymbol{A}$ 的对应于 $\boldsymbol{\alpha}$ 的特征值。

### 【基础篇】第20题（解答题） 20．（1）设二次型 $f(x, y, z)=y^{2}+2 x z$ ，用正交变换 $x=Q y$ 将其化为标准形，并写出 $Q$ ； （2）求函数 $\displaystyle g(x, y, z)=\frac{y^{2}+2 x z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0\right)$ 的最大值，并求出一个最大值点．

### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，已知 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和及主对角线元素之和均为 2 ，且 $\boldsymbol{\alpha}= [2,1,0]^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{\beta}=[0,1,2]^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ 的两个解，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．

### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，则以下不是＂ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 正定＂的充要条件的是（）。 （A）$A$ 为初等矩阵的乘积 （B） $\boldsymbol{A}$ 为 $\mathbf{R}^{n}$ 的某两个基之间的过渡矩阵 （C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关 （D） $\boldsymbol{A}$ 与 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 相似

### 【基础篇】第21题（解答题） 21．设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\lambda_{0}$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\xi=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ ，且 $|A|=1, A^{\circ}$ 是 $A$的伴随矩阵， $\displaystyle \boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{ccc}-a & 1 & -2 \\ -1 & b & -\frac{7}{2} \\ 2 & -3 & a\end{array}\right]$ ，求参数 $a, b$ 及 $\lambda_{0}$ ．

### 【基础篇】第21题（解答题） 21．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 通过正交变换化成 $2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ ，方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}=[1,0$ ， $1]^{\mathrm{T}}$ ，求正交变换及二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。

### 第219题 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x) \neq 0$ ． 答题 区

## 第219题 (高等数学 - 选择题) 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x) \neq 0$ ． 答题 区

### 【基础篇】第22题（解答题） 22．设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $A$ 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}$ ，$\xi_{3}$ ，令 $\beta=\xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 。证明： （1） $\boldsymbol{\beta}$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量； （2）向量组 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\beta}$ 线性无关． ## 第5章 线性方程组

### 【基础篇】第22题（解答题） 22．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & s \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & \cdots & s^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2^{n-1} & 3^{n-1} & \cdots & s^{n-1}\end{array}\right]$ ，其中 $s, n$ 是正整数，证明 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，并就正整 数 $s, n$ 的情况讨论矩阵 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 的正定性．

### 【强化篇】第23题（解答题） 23．已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\eta}$ 为 3 维列向量． （1）求 $\boldsymbol{\eta}$ ； （2）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ； （3）令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}+\boldsymbol{\eta}$ ，其中 $\boldsymbol{x}=[x, y, z]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{y}=\left[x_{1}, y_{1}, z_{1}\right]^{\mathrm{T}}$ ，化简二次曲面方程 $2 x^{2}+y^{2}-4 x y- 4 y z-4 x-5=0$ ，并说明它表示什么曲面．

### 【基础篇】第24题（解答题） 24．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{3}$ ，且二次曲面 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 是柱面． （1）求 $a$ 的值； （2）用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并求所用的正交变换； （3）求此柱面母线的方向向量。 ## 第6章 向量组

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．已知 3 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的元素 $a_{i j}$ 均为实数，且 $a_{i j}$ 不全为 0 ．若 $$ a_{i j}=-A_{i j}(i, j=1,2,3), $$ 其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $|\boldsymbol{A}|=$ $\_\_\_\_$ ． ## 第3章 向量组

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $x_{1}=[1,2,2,-4]^{\mathrm{T}}, x_{2}=[1, k,-1,-4]^{\mathrm{T}}, x_{3}=[-1,-3,1, k+6]^{\mathrm{T}}$ ，则（ ）。 （A）对任意常数 $k, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性无关 （B）当 $k=3$ 时，$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性相关 （C）当 $k=-2$ 时，$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性相关 （D）$k \neq 3$ 且 $k \neq-2$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 线性无关的充要条件