向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，记矩阵 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（ ）． （A）$r_{1}=r_{2} \geqslant r_{3}$ （B）$r_{1}=r_{2} \leqslant r_{3}$ （C）$r_{1}=r_{3} \geqslant r_{2}$ （D）$r_{1}=r_{3} \leqslant r_{2}$

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．已知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=1$ 的特征向量， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的线性无关的特征向量，则矩阵 $P$ 不可以是（ ）。 （A）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1},-2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ （B）$\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{2}-2 \alpha_{3}\right]$ （C）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$ （D）$\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] ; \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{c}a \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ b\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\ c \\ 1\end{array}\right]$, 问 $a, b, c$ 为何值时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 等价，且当向量组等价时，求 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的线性表示式及 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 的线性表示式。

### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 有特征向量 $$ $\xi_{1}=\left[\begin{array}{l}$ 1 \\ 2 \\ 1 $\end{array}\right], \xi_{2}=\left[\begin{array}{c}$ -1 \\ 1 \\ 1 $\end{array}\right], \xi_{3}=\left[\begin{array}{c}$ -1 \\ 2 \\ 2 $\end{array}\right]$ $$ （1）求 $A$ 的对应于 $\xi_{i}(i=1,2,3)$ 的特征值； （2）求 $A x=0$ 的通解； （3）求 $A$ 。

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\alpha_{1}=[1,1,0,-2]^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=[1, k,-2,0]^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=[-1,-3,2, k+4]^{\mathrm{T}}$ ，则（ ）。 （A）对任意常数 $k, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关 （B）当 $k=3$ 时，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关 （C）当 $k=-4$ 时， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关 （D）$k \neq 3$ 且 $k \neq-4$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关的充要条件

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，记矩阵 $\left[\begin{array}{cc}O & A \\ B C & E\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}A B & C \\ O & E\end{array}\right]$ ， $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ，则（ ）． （A）$r_{1} \leqslant r_{2} \leqslant r_{3}$ （B）$r_{1} \leqslant r_{3} \leqslant r_{2}$ （C）$r_{3} \leqslant r_{1} \leqslant r_{2}$ （D）$r_{2} \leqslant r_{1} \leqslant r_{3}$