向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 【基础篇】第14题（解答题） 14．（1）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda=1,2, \cdots, n$ 。证明 $\boldsymbol{A B}$ 和 $\boldsymbol{B A}$ 有相同的特征值且 $\boldsymbol{A B} \sim$ BA ； （2）对一般的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ ，是否必有 $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$ ，说明理由．

### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $\alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量，$P=[\alpha, \beta], Q=[\alpha+\beta, 2 \alpha]$ 。若矩阵 $A$ 使得 $P^{\top} A P=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $Q^{\mathrm{T}} A Q=$ ）． （A）$\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 4 & 2\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right]$

### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶不可逆矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 3 维线性无关列向量，满足 $A \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta} 、 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}$ 、且 $\boldsymbol{A} \sim \Lambda$ ，则 $\Lambda=$

### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}4 & 2 \\ a & -3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & b\end{array}\right]$ ，其中 $b$ 为正整数． （1）若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ，求出 $a, b$ 的值与矩阵 $\boldsymbol{P}$ ； （2）对于（1）中的 $a, b$ ，是否存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T} A Q=B$ ？若存在，求出 $Q$ ．若不存在，说明理由．

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $A, B, C$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $$ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \boldsymbol{C}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}-2 \boldsymbol{E}\right)=\boldsymbol{O}, r(C)+r(\boldsymbol{B})=n . $$ 证明 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda}$ ，并求 $\boldsymbol{\Lambda}$ ．

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right]$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$ 合同，求 $a$ ，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ．

### 【基础篇】第16题（填空题） 16．已知 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有三个特征值 $\displaystyle -1,2, \frac{1}{3}$ ，对应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ ，取 $P= \left[2 \xi_{2},-\xi_{1}, 3 \xi_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+b x_{3}^{0}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 c_{2} x_{3}$ 经正交变喼 $x=Q y$ 可化为标准形 $-y \hat{i}-y \hat{i}+5 y_{j}^{2}$ ，求； （1）常数 $a, b, c$ 的值： （2）所用正交资换。

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $A=\left[\begin{array}{lll}-4 & 2 & 10 \\ -4 & 3 & a \\ -3 & 1 & 7\end{array}\right]$ ，且 $A$ 的所有特征向量中只有一个线性无关的特征向量、 $B=$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$. （1）求 $a$ 的值； （2）是否存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ？若存在，求出矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，若不存在，说明理由．

### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设 3 维列向量 $\alpha-[1,1,1]^{\top}$ ，矩降 $\Lambda-\mathbf{a r}^{\top}$ ， （1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与全部特征向量； （2）求方程组 $(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$（ $k$ 为常数）的通解； （3）求一个正交变换 $x=Q y$ ，将二次型 $f=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形．

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & a \\ 2 & a & 2 \\ a & 2 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ -4\end{array}\right]$ ，线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解． （1）求常数 $a$ 的值及方程组 $A x=\beta$ 的通解； （2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。

### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1$ ，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{x}=k_{1}[-2,1,0]^{\mathrm{T}}+ k_{2}[-3,0,1]^{\mathrm{T}}, k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，求 $A^{n}$ ．

### 【强化篇】第18题（选择题） 18．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left[-x_{1}+(a-4) x_{2}+2 x_{3}\right]^{2}+\left(2 x_{1}+x_{2}+a x_{3}\right)^{2}$正定，则参数 $a$ 的取值范围是（ ）。 （A）$a=2$ （B）$a=-7$ （C）$a>0$ （D）$a$ 为任意实数

### 【基础篇】第19题（选择题） 19．下列二次型中，是正定二次型的是（ ）。 （A）$f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{1}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}-x_{1}\right)^{2}$ （B）$f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ （C）$f_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ （D）$f_{4}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$

### 【强化篇】第19题（选择题） 19．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 2 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个实特征向量，$\|\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\|=\|\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}\|$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必为 ． （A）正定矩阵 （B）实对称矩阵 （C）正交矩阵 （D）单位矩阵

### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为 3 维列向量，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{\gamma}^{\mathrm{T}}\right) x$ 。 （1）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关，证明 $f$ 为正定二次型； （2）若 $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right], \boldsymbol{\gamma}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ a\end{array}\right]$ ，求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解，并求二次型的规范形．

### 【强化篇】第2题（填空题） 2．已知 3 阶行列式 $|\boldsymbol{A}|=-9$ ，其第 2 行元素为 $[1,1,2]$ ，第 3 行元素为 $[2,2,1]$ ，则 $A_{31}+ A_{32}-3 A_{33}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设 3 维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，$k, l$ 均为非零常数， $$ $\boldsymbol{\beta}_{1}=k \boldsymbol{\alpha}_{1}+l \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}=k \boldsymbol{\alpha}_{2}+l \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}=k \boldsymbol{\alpha}_{3}+l \boldsymbol{\alpha}_{1},$ $$ 记 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right]$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件为 ． （A）$k-l=0$ （B）$k+l=0$ （C）$k-l \neq 0$ （D）$k+l \neq 0$

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实矩阵，则下列结论不成立的是（ ）。 （A）$r\left(\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})$ （B）$r\left(\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}\end{array}\right]\right)=r\left(\boldsymbol{A B}^{\mathrm{T}}\right)$ （C）$r\left(\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}\end{array}\right]\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$ （D）$r\left(\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right]\right)=r(\boldsymbol{A})$

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设 $$ A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 0 \\ 4 & -5 & 0 \\ a & 2 & -1 $\end{array}\right],$ $$ 若 $\boldsymbol{A}$ 的三重特征值 $\lambda$ 对应两个线性无关的特征向量，则 $a=$（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C）-1 （D）-2