向量组的秩与矩阵的秩的关系

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,0,2, a]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[2,1, a, 4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[0, a, 5,-6]^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a=$（ ）。 （A）-1 （B） 3 （C）-3 （D） 5

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值一 1 与 1 的特征向量，且 $$ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0} . $$ （1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆； （2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{P}$ ．

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]$ ，矩阵 $B$ 满足 $A B=A-B$ ，求可逆矩阵 $P$ 、使 $P^{-1}(A B) P$ 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关， $\boldsymbol{\beta}=k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 全不为零，则 （ ）． （A）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s-1}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关 ## 第3章 矩阵运算

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶方阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 2 维非零列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，$P=[\alpha, A \boldsymbol{\alpha}], A^{2} \alpha+A \boldsymbol{\alpha}- 2 \alpha=0$ ，若矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{P B}$ ，则 $\boldsymbol{B}=()$ 。 （A）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$

### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，若非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解，则其线性无关解向量的个数为 ）． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

### 【基础篇】第7题（选择题） 7．下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ）。 （A）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$

### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{\alpha}_{i}=\left[a_{i}, b_{i}, c_{i}\right]^{\mathrm{T}}(i=1,2,3)$ 均为非零列向量，且直线 $\displaystyle \frac{x-a_{1}}{a_{2}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}}$ 过点 $\left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right)$ ，则可能是三个平面 $\pi_{i}: \boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=1(i=1,2,3)$ 的位置关系的所有序号是（ ）。 （1） （2） （3） （4） （A）（1）（3） （B）（2）（3） （C）（2）（4） （D）（1）（3）（4）

### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关，其中 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维非零列向量，且 $\boldsymbol{A}^{3} \boldsymbol{\alpha}=3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}-2 \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\alpha}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第7题（解答题） 7．已知 3 维列向量 $\xi$ 不是 $A^{2} x=0$ 的解，$A \xi$ 是 $A^{2} x=0$ 的解。记 $P \quad\left[\xi, A \xi, A^{2} \xi\right]$ 。 （1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆； （2）A 能否相似对角化？若能，求出一个与之相似的对角矩阵，若不能，请说明理由。

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right]$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ． （1）求 $a$ ； （2）求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。

### 【基础篇】第8题（选择题） 8．已知线性方程组 $A x=k \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 有解，其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_{2}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -1\end{array}\right]$ ，刜 $k$ 等于（ ）。 （A） 1 （B）-1 （C） 2 （D）-2

### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 是 3 维向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基，则基 $\boldsymbol{\beta}_{1}, 2 \boldsymbol{\beta}_{2}, 3 \boldsymbol{\beta}_{3}$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_{1}-\boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}+\boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}-\boldsymbol{\beta}_{1}$ 的过渡矩阵为（ 第6算 向量组 （A）$\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & -6 \\ -8 & 4 & 0\end{array}\right]$ （B）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]$ （C）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right]$ （D）$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{4}\end{array}\right]$

### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，$|\boldsymbol{B}| \neq 0, \boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维非零列向量，则＂ $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的特征向量＂是＂ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 的特征向量＂的 ）． （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & 2 & -3\end{array}\right]$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，其中 $|\boldsymbol{A}|>0$ ． （1）求 $a$ 的值； （2）求 $A^{99}$ ．

### 【强化篇】第8题（填空题） 8．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+x_{4}\right)^{2}+\left(x_{4}+x_{1}\right)^{2}$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，$b$ 为常数。记分块矩阵 $$ $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc}$ $\boldsymbol{E} & 0 \\$ -\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{*} & |\boldsymbol{A}| $\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{cc}$ $\boldsymbol{A} & \boldsymbol{\alpha} \\$ $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} & b$ $\end{array}\right],$ $$ 其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 ## 第4章 线性方程组

### 【基础篇】第9题（解答题） 9．已知 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，且齐次线性方程组 $A x=0$ 有通解 $k_{1}[1,2,-2]^{\mathrm{T}}+ k_{2}[2,1,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}=[1,1,1]^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}$ 是任意常数。 （1）证明：对任意的一个 3 维列向量 $\beta$ ，向量 $A \beta$ 和 $\alpha$ 线性相关； （2）若 $\boldsymbol{\beta}=[3,6,-3]^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$ ．

### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知 $\boldsymbol{A}$ 为2阶方阵，可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}]$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} A \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right], Q=[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}]$ ，则 $Q^{-1} \boldsymbol{A}^{*} Q=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,-2,1,0,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[1,-2,0,1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=[0,0,1,-1,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=[1,-2,3,-2$, $0]^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $$ $\left\{\begin{array}{l}$ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0 \tag{*}\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=0 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=0 $\end{array}\right.$ $$ 的解向量，问 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是否构成方程组（＊）的基础解系，若能，说明理由，若不能，请增或减向量，使之成为基础解系。