原函数与不定积分的概念

### 第10题 10．已知总体 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，其中未知参数 $\theta>0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为取自总体的一个样本，则 $\theta$ 的矩估计量为 $\_\_\_\_$。

### 第101题 101 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第103题 103 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第106题 106 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 107交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 纠铺笔记

### 第109题 109 交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第110题 110 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第111题 111 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第112题 112 计算 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第117题 117 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第138题 138 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是 （A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ． （B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ． （C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ． （D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．

### 第139题 139 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题 （1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。 （2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小． （3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小． （4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小． 中，正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第140题 140 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为 （A）一阶． （B）二阶． （C）三阶． （D）四阶．

### 第155题 155 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$ （A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．

### 第176题 176 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内 （A）可导． （B）连续． （C）存在原函数． （D）是初等函数．

### 第177题 177 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数． （B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数． （C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ． （D）在 $[-1,1]$ 不可积．

### 第178题 178 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时 （A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ． （B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ． （D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．

### 第179题 179 考察下列叙述： （1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分． 我们可知 （A）只有（1），（2）正确． （B）只有（2），（3）正确． （C）只有（2），（4）正确． （D）只有（3），（4）正确． □

### 第180题 180 下列函数在指定区间上不存在定积分的是 （A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ． （B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ． （D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.

### 第181题 181 下列命题中有一个正确的是 （A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ． （B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积． （C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．

### 第182题 182 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为 （1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ． （2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ． （3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ． （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．