📝 浙江大学 2023年强基真题

已知 $\displaystyle \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\left(1-\sqrt{\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}}\right)^{2}}{\cot \alpha+\cot \beta}$ 的最大值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

$\displaystyle \left|2^{x} 3^{y}-2^{n} 5^{v}\right|=2$ 的正整数解 $\displaystyle (x, y, u, v)$ 的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

设 $\displaystyle A \bigcup B \bigcup C=\{1,2, \cdots, 20230612\}, A \cap B \cap C=\phi$ ，若满足条件的有序集合组（ $\displaystyle A, B, C$ ）为 $\displaystyle n$个，则十进制下 $\displaystyle n$ 的最后 2 位数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

2023 支球队参加单循环赛， 2 队一场，胜得 3 分，负得 0 分，平局各加 1 分，赛后各队总分构成 $\displaystyle d=1$ 的等差数列，则最后一名得分的最大值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

设四边形 $\displaystyle A B C D$ 外接于圆 $\displaystyle O$ ，过 $\displaystyle O$ 作直线交 $\displaystyle A B, C D, A C, B D$ 于 $\displaystyle K, L, M, N$ ，且 $\displaystyle \angle B K L=\angle C L K, A M=1, M C=2, B N=3$ ，则 $\displaystyle N D=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知在正 $\displaystyle n$ 边形的顶点中，任取 3 点构成钝角三角形的概率为 $\displaystyle \frac{93}{125}$ ，则 $\displaystyle n$ 的可能值的和为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

过椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt 0)$ 的右焦点 $\displaystyle F$ 作相互垂直的弦 $\displaystyle A C, B D$ ，已知四边形 $\displaystyle A B C D$ 面积的值域为 $\displaystyle \left[8, \frac{25}{2}\right]$ ，则 $\displaystyle \frac{a}{b}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

$\displaystyle f(x)=x^{2}-2 x-14 \sqrt{x-1}+x \sqrt{x^{2}-4 x-28 \sqrt{x-1}+61}(x \geq 1)$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

设复数 $\displaystyle a, b, c$ 有 $\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2}=1$ ，则 $\displaystyle \left|a b\left(a^{2}-b^{2}\right)+b c\left(b^{2}-c^{2}\right)+c a\left(c^{2}-a^{2}\right)\right|$ 的最大值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{(1-\sqrt{2})^{n+1} a_{n}+\sqrt{2}+1}\left(n \in N^{*}\right)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

求 $\displaystyle \frac{\tan 96^{\circ}-\tan 12^{\circ}\left(1+\frac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}{1+\tan 96^{\circ} \tan 12^{\circ}\left(1+\frac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\frac{x_{n}}{2 x_{n}^{2}+1}$ ，则 $\displaystyle \left[2 \lg x_{2023}\right]=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知五位数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 2556\left(n^{3}-1\right)$ ，则 $\displaystyle n$ 的各位数字之和的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle C, L \in R$ 且 $\displaystyle L \neq 0$ ，若 $\displaystyle \lim _{m \rightarrow+\infty} \frac{m^{c} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{m} \sin x d x}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{m} \cos x d x}=L$ ，则 $\displaystyle L=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle n \in N^{*}$ ，且存在正整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots b_{n}$ 使 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}=n$ ，则 $\displaystyle n$ 的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left|\frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right)-6(\sqrt[3]{2-\cos x}-1)}{x^{4}}\right|=\frac{q}{p}$ ，且 $\displaystyle p, q$ 为互素的正整数，则 $\displaystyle p+q=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知多项式 $\displaystyle f_{n}(x)(\mathrm{n} \geq 0)$ ，满足 $\displaystyle f_{0}(x)=1$ ，当 $\displaystyle n \geq 0$ 时，$\displaystyle f_{n}(0)=0$ 且 $\displaystyle \frac{d f_{n+1}(x)}{d x}=(n+1) f_{n}(x)$ ，求十进制下 $\displaystyle f_{100}(2023)$ 的最后 2 位数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

今年是浙江大学建校 126 周年，将一个边长为 126 的正六边形分成若干边与正六边形的边平行且边长为 1 的正三角形，设这些正三角形顶点所能构成的正六边形数量为 n ，则十进制 $\displaystyle \mathrm{F} n$ 的末位数是？

三条直线 $\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 两两平行，$\displaystyle l_{1}$ 与 $\displaystyle l_{2}$ 之间的距离为 $\displaystyle 1, l_{2}, l_{3}$ 之间距离为 $\displaystyle \frac{1}{2}, l_{1}, l_{3}$ 之间距离为 $\displaystyle \frac{3}{2}, l_{1}$上有两定点 $\displaystyle A, \mathrm{~B}, A \mathrm{~B}=2, l_{2}$ 上有两动点 $\displaystyle M, N, M N=2, \triangle A M N$ 的外心为点 $\displaystyle C$ ，点 $\displaystyle C$ 到 $\displaystyle l_{3}$ 的距离为 $\displaystyle d$ ，求 $\displaystyle (d+|B C|)$ 的最小值。