📝 南京师范大学 2016年数学分析真题
第0题
1．设
$$
a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+n+k},
$$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；
$$
a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+n+k},
$$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；
第0题
2．求
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{m}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k}{m n}
$$
$$
\lim _{m \rightarrow \infty} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{m}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k}{m n}
$$
第0题
1．给出函数 $f:(-1,1) \rightarrow R, f$ 只在一点连续；
第0题
2．给出函数 $g:(-1,1) \rightarrow R, g$ 只在一点可导．
第0题
1．设函数 $h(x)$ 在 $R$ 上可导，且存在 $K \geq 0$ 使
$$
\left|h^{\prime}(x)\right| \leq K, \forall x \in R .
$$
则 $h(x)$ 在 $R$ 上一致连续。
$$
\left|h^{\prime}(x)\right| \leq K, \forall x \in R .
$$
则 $h(x)$ 在 $R$ 上一致连续。
第0题
2．设函数 $h(x)=x^{2}$ ，则 $h(x)$ 在 $R$ 上不一致连续．
第0题
1．给出函数 $s(x)$ 的连续范围；
第0题
2．给出函数 $s(x)$ 的可导范围．
第0题
1.
$$
\iint_{D} e^{v(x, y)} d x d y
$$
其中
$$
v(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
$$
D 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域．
$$
\iint_{D} e^{v(x, y)} d x d y
$$
其中
$$
v(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
$$
D 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域．
第0题
2.
$$
\int_{A B}(\sin y+y) d x+x \cos y d y
$$
其中 $A B$ 为由 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 经曲线 $y=x(3-x)$ 上半部的路线．
$$
\int_{A B}(\sin y+y) d x+x \cos y d y
$$
其中 $A B$ 为由 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 经曲线 $y=x(3-x)$ 上半部的路线．
第0题
1．证明 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续；
第0题
2．求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ；
第0题
3．证明 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 不可微．
第0题
1．$f_{n}, n=1.2 \cdots$ ，和 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导；
第0题
2．存在 $c \geq 0$ 使
$$
\begin{gathered}
\left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq c, n=1.2 \cdots \quad \forall x \in(a, b) \\
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq c, \quad \forall x \in(a, b)
\end{gathered}
$$
$$
\begin{gathered}
\left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq c, n=1.2 \cdots \quad \forall x \in(a, b) \\
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq c, \quad \forall x \in(a, b)
\end{gathered}
$$
第0题
3． $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in P$ ，
## 其中 $P$ 为 $(a, b)$ 中的有理数集．
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in(a, b)$ ．
## 其中 $P$ 为 $(a, b)$ 中的有理数集．
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in(a, b)$ ．
第0题
五、计算积分．（20 分）
1.
$$
\iint_{D} e^{v(x, y)} d x d y
$$
其中
$$
v(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
$$
D 是由 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域．
2.
$$
\int_{A B}(\sin y+y) d x+x \cos y d y
$$
其中 $\displaystyle A B$ 为由 $\displaystyle (0,0)$ 到 $\displaystyle (3,0)$ 经曲线 $\displaystyle y=x(3-x)$ 上半部的路线．
1.
$$
\iint_{D} e^{v(x, y)} d x d y
$$
其中
$$
v(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
$$
D 是由 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域．
2.
$$
\int_{A B}(\sin y+y) d x+x \cos y d y
$$
其中 $\displaystyle A B$ 为由 $\displaystyle (0,0)$ 到 $\displaystyle (3,0)$ 经曲线 $\displaystyle y=x(3-x)$ 上半部的路线．
第0题
八、（15 分）求
$$
\iint_{S}\left(y^{2}-x\right) d y d z+\left(z^{2}-y\right) d z d x+\left(x^{2}-z\right) d x d y
$$
其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(1 \leq z \leq 2)$ 的上侧．
$$
\iint_{S}\left(y^{2}-x\right) d y d z+\left(z^{2}-y\right) d z d x+\left(x^{2}-z\right) d x d y
$$
其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(1 \leq z \leq 2)$ 的上侧．
第0题
六、（10分）
在椭球
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
$$
的内接长方体中，求体积最大的一个．
在椭球
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
$$
的内接长方体中，求体积最大的一个．
第0题
四、完成下列各题并给出证明。（20 分）
设
$$
s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n x}}{n^{2}}
$$
设
$$
s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n x}}{n^{2}}
$$