📝 哈尔滨工程大学 2008年高等代数真题

1．令 $F$ 为 $\displaystyle \varepsilon=\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}$ 的一切有理多项式的集合所构成的数域，则 $F$ 中元素的简约式为

2．多项式 $x^{21}-1$ 和 $x^{14}-1$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。

3．$n$ 阶行列式 $A_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|(n \geq 2)$ 的值为
$\_\_\_\_$。

4．若 $P$ 为5阶正交阵，则 $\left|E-P^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$。

5．在空间直角坐标系中，向量 $\alpha_{1}=\left(a_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{13}\right), \alpha_{2}=\left(a_{21}, \alpha_{22}, \alpha_{23}\right), \alpha_{3}=\left(a_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33}\right)$ 共面的充要条件是 $\_\_\_\_$。

6．设 $S=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{2} \\ -E_{2} & 0\end{array}\right), V=\left\{X \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid S X+X^{T} S=0\right\}$ ，则 $V$ 作为数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，则矩阵方程 $A X=B$ 有解的充分必要条件为 $\_\_\_\_$。

8．若 3 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $\sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{i=1}^{3} a_{i j} a_{j i}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

9．令 $A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}, A^{3}=E, 1=5-r(E-A)$ ，则 $\operatorname{tr}\left(E+A+A^{2}\right)$ $\_\_\_\_$。

10．特征值为 $1,1,1,1$ 的一切 $4 \times 4$ 复数矩阵在复数域内按相似可分为 $\_\_\_\_$类．

1．求 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵；

2．求 $\sigma$ 的特征值和特征向量；

3．说明 $\sigma$ 可对角化，并求 $\mathbb{R}_{2}[x]$ 的一个基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ ，使 $\sigma$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

1．求证 $V$ 为 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的子空间，并求 $\operatorname{dim} V$ ；

2．求证： $\mathbb{R}^{n \times n}=V \oplus W$ ．

七、设 $V$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha, \beta$ 为其上可对角化的线性变换，且 $\displaystyle \alpha \beta=\beta \alpha$ ，求证：$\displaystyle \alpha, \beta$ 可同时对角化．

三、设 $\displaystyle V=\left\{A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(\mathcal{A})=0\right\}, W=\{a E \mid a \in \mathbb{R}\}$ ．

二、实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的次数不超过 2 的多项式集合 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 为实数域上的线性空间，取 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 的

一个基 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 中的线性变
换，且 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．

五、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{m}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，求证：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件为行向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle b_{1}, \ldots b_{m}$ 等价。

八、设 $\displaystyle f(x, y)$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$U$ 为 $V$ 的子空间， $\displaystyle U^{\perp}=\{v \in V \mid f(u, v)=0, \forall u \in U\}$ ，若 $\displaystyle U \bigcap U^{\perp}=\{0\}$ ，求证：$\displaystyle V=U \oplus U^{\perp}$ ．

六、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，定义 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, X \rightarrow A X A^{T}$ ，求证 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的可角化线性变换．

四、（1）将二次 $\displaystyle f(x, y, z)=-2 x y+2 x z+2 y z$ 正交标准化；
（2）求三元实函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的最大值和最小值，并求一个最值点．