向量在基下的坐标

### 第211题 211 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为 （A）$y=C y_{1}(x)$ ． （B）$y=C y_{2}(x)$ ． （C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ． （D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．

### 第282题 282 设四阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}$ 均为四维列向量，且 $\displaystyle |\boldsymbol{A}|=5,|\boldsymbol{B}|=-\frac{1}{2}$ ，则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第3题 3．设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则有 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表出． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出．

### 第346题 346 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 均为四维列向量，$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right|=a,\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|=b$ ，则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}+2 \boldsymbol{\beta}_{2}\right|=$ （A） $2 a-b$ ． （B） $2 a+b$ ． （C） $2 b-a$ ． （D） $2 b+a$ ．

### 第376题 376 当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性相关时，使等式 $$ k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0} $$ 成立的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 是 （A）某些全不为 0 的常数． （B）任意一组不全为 0 的常数． （C）唯一一组不全为 0 的常数． （D）无穷多组特定的不全为 0 的常数．

### 第378题 378 （2012，数一、二、三）设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right]$ ，其中 $c_{1}, c_{2}$ ， $c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$.

### 第380题 380 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关的充分必要条件是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均不是零向量． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关． （C）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}$ 线性无关。 （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表出．

### 第381题 381 设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$ ；向量组（II）： $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right), \boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24}\right), \boldsymbol{\beta}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$ ，则正确的命题是 （A）（I）相关 ⇒（II）相关。 （B）（I）无关 ⇒（II）无关． （C）（II）无关 ⇒（I）无关． （D）（II）相关 ⇒（I）无关．

### 第382题 382 设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ ；向量组（II）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s+t}$ ，则正确命题是 （A）（I）无关 ⇒（II）无关。 （B）（I）无关 ⇒（II）相关。 （C）（II）相关 ⇒（I）相关． （D）（II）无关 ⇒（I）无关。

### 第384题 384 已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ．

### 第385题 385 已知 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$.

### 第388题 388 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示．

### 第389题 389 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，向量 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则必有 （A） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关．

### 第390题 390 （2021，数农）若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表出，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关是 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性无关的 （A）充分必要条件． （B）充分不必要条件． （C）必要不充分条件． （D）既不充分也不必要条件．

### 第391题 391 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，的秩为 $r$ ，则下列命题中正确的是 （A）向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性无关． （B）向量组中任意 $r$ 个向量都线性无关． （C）向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性相关． （D）向量组中任意 $r+1$ 个向量都线性相关．

### 第393题 $393 a=1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(-2,-2, a+ 6)^{\mathrm{T}}$ 的秩为 2 的 （A）充分必要条件． （B）充分而非必要条件． （C）必要而非充分条件． （D）既非充分又非必要条件．

### 第397题 397 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的三个不同的解，那么下列向量 $$ $\displaystyle \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \quad \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \quad \frac{2}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ $$ 中是导出组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 解的向量共有 （A） 4 个． （B） 3 个。 （C） 2 个． （D） 1 个．

### 第400题 400 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0)^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，那么下列向量中 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量是 （A）$(1,-1,3)^{\mathrm{T}}$ ． （B）$(2,1,-3)^{\mathrm{T}}$ ． （C）$(2,2,-5)^{\mathrm{T}}$ ． （D）$(2,-2,6)^{\mathrm{T}}$ ．

### 第404题 404 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是 （A）与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等价的向量组． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$. （C）与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等秩的向量组． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ．

### 第521题 521 设二维随机变量 $(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 有相同的边缘分布，则 （A）$(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 有相同的联合分布． （B）$(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 不一定有相同的联合分布． （C）$(X+Y)$ 与 $(U+V)$ 有相同的分布． （D）$(X-Y)$ 与 $(U-V)$ 有相同的分布．