常数项级数的概念（级数、部分和、收敛、发散）

### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\sum_{n-1}^{\infty} u_{n}$ 为任意项级数，记 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right), b_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ ，则当 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛时，以下结论： （1）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛； （2）$\sum_{n-1}^{\cdots}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 发散； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}=-1$ ． 正确结论的个数为（ ）。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自标准正态总体 $X$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S^{2}= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, Y=\bar{X}-S$ ，则 $E\left(Y^{2}\right)=$ ． （A） $\displaystyle 1-\frac{1}{n}$ （B） $\displaystyle 1+\frac{1}{n}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{n-1}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{n-1}$

### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设随机变量 $X \sim N(0,4)$ ，若 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则（ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{2 n}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2} \sim \chi^{2}(1)$ （B）$\displaystyle \frac{1}{16} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} \sim \chi^{2}(n)$ （C）$\displaystyle \sqrt{\frac{(n-1) X_{n}^{2}}{\sum_{i=1}^{n-1} X_{i}^{2}}} \sim t(n-1)$ （D）$\displaystyle \frac{(n-1) X_{1}^{2}}{\sum_{i=2}^{n} X_{i}^{2}} \sim F(1, n-1)$

### 【强化篇】第5题（填空题） 5．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{1 \leqslant i, j \leqslant 3}|i-j| x_{i} x_{j}$ 的规范形为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第52题（解答题） 52．欧拉方程 $\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+4 x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为 ## 第16章 无穷级数

### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布：$P\left\{X=x_{k}\right\}=P\left\{Y=x_{k}\right\}=p_{k}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X=Y\}=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本，由切比雪夫不等式得 $P\left\{0<\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}<2 n\right\}$ 不小于 $\_\_\_\_$ ． ## 第5章 多维随机变量函数的分布

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设总体 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \sigma)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\sigma}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\sigma$ 为大于零的未知参数，已知 $X_{1}$ ， $X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\sigma$ 的最大似然估计量为 ． （A）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ （B）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ （C）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ （D）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \cdot X_{i}^{2}$

### 第616题 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 （A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。 （B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。 （C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。 （D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。 答题 区

### 第617题 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。 （C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ． （D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。

### 第620题 已知 $u_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛。若设 $v_{n}=3 u_{2 n-1}-u_{2 n} (n=1,2,3, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ （A）发散． （B）条件收敛。 （C）绝对收敛。 （D）收敛或发散取决于 $\left\{u_{n}\right\}$ 的具体形式．

## 第620题 (高等数学 - 选择题) 已知 $u_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛。若设 $v_{n}=3 u_{2 n-1}-u_{2 n} (n=1,2,3, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ （A）发散． （B）条件收敛。 （C）绝对收敛。 （D）收敛或发散取决于 $\left\{u_{n}\right\}$ 的具体形式．

### 第621题 a_{n}$ 和 $b_{n}$ 符合下列哪一个条件，可由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散推得 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （A）$a_{n} \leqslant b_{n}$ ． （B）$\left|a_{n}\right| \leqslant b_{n}$ ． （C）$a_{n} \leqslant\left|b_{n}\right|$ ． （D）$\left|a_{n}\right| \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．$

## 第621题 (高等数学 - 选择题) a_{n}$ 和 $b_{n}$ 符合下列哪一个条件，可由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散推得 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （A）$a_{n} \leqslant b_{n}$ ． （B）$\left|a_{n}\right| \leqslant b_{n}$ ． （C）$a_{n} \leqslant\left|b_{n}\right|$ ． （D）$\left|a_{n}\right| \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．$

### 第622题 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）

## 第622题 (高等数学 - 选择题) 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）