常数项级数的概念（级数、部分和、收敛、发散）

### 【基础篇】第19题（解答题） 19．设总体 $X$ 的概率分布为 | $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\theta^{3}$ | $3 \theta^{2}(1-\theta)$ | $3 \theta(1-\theta)^{2}$ | $(1-\theta)^{3}$ | 其中 $0<\theta<1, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。求 $\theta$ 的最大似然估计量，并判定它是否为 $\theta$ 的无偏估计量，说明理由。

### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求函数 $y=\ln x$ 在 $x=2$ 处带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒展开式。

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则下列命题： （1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|-\left|b_{n}\right|\right)$ 绝对收敛； （2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|-\left|b_{n}\right|\right)$ 条件收敛； （3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 绝对收敛； （4）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 条件收敛。 所有正确命题的序号为（ ）。 （A）（1）（3） （B）（1） （C）（2）（4） （D）（4）

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\displaystyle E\left(\frac{1}{X+1}\right)=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （B） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$

### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设 $X \sim N(0,1)$ ，在 $X=x$ 的条件下，总体 $Y \sim N(x, 1)$ ，记 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}, \cdots$ 为取自总体 $Y$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设总体 $X$ 服从谷数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。且对任船的正数 6 。有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-2\right|<\varepsilon\right\}=1$ ，则 $D[|X-D(X)|]=$ ． （A） $\displaystyle 1-\frac{2}{c}$ （B） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{4}{c^{2}}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}$

### 【强化篇】第20题（解答题） 20．对总体 $X$ 进行简单随机抽样，得如下统计资料： | $k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $X=k$ 的次数 | 12 | 20 | 24 | 24 | 20 | （1）求总体 $X$ 的数学期望 $a$ 和方差 $b$ 的无偏估计值； （2）根据以上计算结果，分析能否用泊松分布描述总体 $X$ 的概率分布。

### 【强化篇】第21题（填空题） 21．设级数 $\sum_{n \rightarrow 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的系数 $a_{n}$ 满足关系式 $\displaystyle a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n}+1-\frac{1}{n}, n=2,3, \cdots, a_{1}=2$ ，则当 $|x|<$ 1 时，级数 $\sum_{n-1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，取容量为 1 的简单随机样本 $X_{1}$ ，其样本值 $x_{1}=$ 3．则 $\mathrm{e}^{-2 \lambda}$ 的无偏估计量与无偏估计值分别为（ ）。 （A）$e^{-2 X_{1}}, e^{-0}$ （B）$e^{-x_{1}}, e^{-3}$ （C） 1,1 （D）$(-1)^{x_{1}},-1$

### 【基础篇】第22题（选择题） 22．设 $X_{1}, X_{2}$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，并设原假设 $H_{0}: \mu=2$ ，备择假设 $H_{1}$ ： $\mu=4$ ，若拒绝域为 $\displaystyle W=\{\bar{X}>3\}, \bar{X}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} X_{i}$ ，记 $\alpha, \beta$ 分别为犯第一类错误和第二类错误的概率，则 （ ）． （A）$\alpha=\beta=1-\Phi(\sqrt{2})$ （B）$\alpha=1-\Phi(\sqrt{2}), \beta=\Phi(\sqrt{2})$ （C）$\alpha=\Phi(\sqrt{2}), \beta=1-\Phi(\sqrt{2})$ （D）$\alpha=\beta=\Phi(\sqrt{2})$

### 【强化篇】第23题（解答题） 23．求级数 $\displaystyle \sum_{n=-9}^{n} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和。

### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{25}$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，考虑假设检验问题：$H_{0}: \mu \leqslant 10, H_{1}: \mu>10$ ，若该检验问题的拒绝域为 $W=\{\bar{X}>20\}$ ，其中 $\displaystyle \bar{X}= \frac{1}{25} \sum_{i=1}^{26} X_{i}$ ，则 $\mu=20.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为 $\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ ，则 $\sigma=$ ． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．若 $\sum_{n=1}^{\infty} m u_{n}$ 绝对收敛，则（ ）。 （A）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 条件收敛 （B）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 绝对收敛 （C）$\sum_{n=1}^{\infty}\left[u_{n}+(-1)^{n}\right]$ 条件收敛 （D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left[u_{n}+(-1)^{n}\right]$ 绝对收敛

### 【强化篇】第3题（选择题） 3．下列叙述正确的是（ ）。 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(u_{n}>0\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛 （C）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 （D）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+A\right)(A>0)$ 收敛