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数列极限的定义（ε-N语言）
第 630 题
## 第630题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$
（A）发散．
（B）绝对收敛．
（C）条件收敛。
（D）敛散性与 $a$ 有关．
第 7 题
### 第7题
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
## 第7题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
### 【基础篇】第7题（填空题）
7．已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^{3}$ 与 $\displaystyle \sqrt{1+x^{2}}-x \ln \left(1+\frac{x}{2}\right)+b$ 为等价无穷小，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
### 【基础篇】第7题（选择题）
7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\ln x_{n}+1, x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，则 $\left\{x_{n}\right\}$ ．
（A）单调不减
（B）单调不增
（C）严格单增
（D）严格单减
第 7 题
### 【强化篇】第7题（解答题）
7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0
第 7 题
### 【强化篇】第7题（解答题）
7．设 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0, f(x)= \begin{cases}g(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \text { ，求 } f^{\prime}(0) \text { ，} \\ 0, & x=0,\end{cases}$
第 7 题
### 【强化篇】第7题（填空题）
7．设函数 $z=f(x, y)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{f(x, y)-3 x+y+5}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\frac{1}{4}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
### 【强化篇】第7题（解答题）
7．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\mathrm{e}_{n}-\mathrm{e}^{-a_{n}}=a_{n}\left(\mathrm{e}_{n}+\mathrm{e}^{-b_{n}}\right), 0b_{n}, n=1,2, \cdots$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)$ 收敛。
第 8 题
### 第8题
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
## 第8题 (高等数学 - 填空题)
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
### 【基础篇】第8题（选择题）
8．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x+x f(x)}{x^{3}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x+f(x)}{x^{2}}=(\quad)$ ．
（A） 0
（B）$\displaystyle -\frac{2}{3}$
（C）$\displaystyle \frac{4}{3}$
（D）$\infty$
第 8 题
### 【基础篇】第8题（解答题）
8．若对于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，存在常数 $k(0
第 8 题
### 【强化篇】第8题（解答题）
8．已知数列 $\left\langle x_{a}\right\rangle$ 满足 $\displaystyle 0
第 8 题
### 【基础篇】第8题（填空题）
8．设函数 $f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{\ln x}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
### 【强化篇】第8题（解答题）
8．确定 $a, b$ 的值，使丽数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin a x, & x \leqslant 0, \\ \ln (1+x)+b, & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导．
第 9 题
### 【基础篇】第9题（选择题）
9． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{x}-x \arctan x}{\mathrm{e}^{r}+x}=(\quad)$ ．
（A） 1
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
（C） 0
（D）不存在
第 9 题
### 【强化篇】第9题（选择题）
9．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{(n+1) a_{n}}{b_{n}}\right]^{n}=$ ．
（A） 0
（B）$e$
（C） $\mathrm{e}^{-1}$
（D）$+\infty$
第 9 题
### 【基础篇】第9题（选择题）
9．设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\Delta f(1)$ 是 $f(x)$ 在增量为 $\Delta x$ 时的函数值增量，则 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f(1)-\mathrm{d} f(1)}{\Delta r}=(\quad)$ 。
（A）$f^{\prime}(1)$
（B） 1
（C）$\infty$
（D） 0
第 9 题
### 【强化篇】第9题（解答题）
9．设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内可导且 $f(a)=0$ ，若其铯对值函数 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处
也可导，求 $f^{\prime}(a)$ 的值，并说明理由．