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数列极限的定义（ε-N语言）
第 6 题
### 【基础篇】第6题（填空题）
6． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}=$ $\_\_\_\_$ ．公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
第 6 题
### 【强化篇】第6题（解答题）
6．（1）当 $\displaystyle 0\frac{2}{\pi} x$ ；
（2）设数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}, n=1,2,3, \cdots, x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时、证明 $y_{n}$ 是比 $x_{n}$ 高阶的无穷小量。
第 6 题
### 【基础篇】第6题（填空题）
6．设可导函数 $f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 6 题
### 【强化篇】第6题（选择题）
6．设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内有定义，$f(0)=f^{\prime}(0)=a>0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-a}{\ln [f(x)]-\ln a}=(\quad)$ 。
（A）$\displaystyle \frac{1}{a}$
（B）$a$
（C） $\cos a$
（D）$a \cos a$
第 6 题
### 【强化篇】第6题（选择题）
6．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ 。
（A）两个偏导数都存在，函数也连续
（B）两个偏导数都存在，但函数不连续
（C）偏导数不存在，但函数连续
（D）偏导数不存在，函数也不连续
第 6 题
### 【基础篇】第6题（选择题）
6．设 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)$ 收敛，则下列级数中收敛的是（ ）。
（A）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n}$
（B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{u_{n}}$
（C）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)$
（D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}\right)$
第 6 题
### 【强化篇】第6题（选择题）
6．设 $\lambda>0$ 是常数，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{\lambda+2 n^{2}}{n^{3}}()$ 。
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛
（D）敛散性与 $\lambda$ 有关
第 618 题
### 第618题
现有关于级数的如下四个结论：
（1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
其中正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（1），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（2），（4）．
第 618 题
## 第618题 (高等数学 - 选择题)
现有关于级数的如下四个结论：
（1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
（4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
其中正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（1），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（2），（4）．
第 619 题
### 第619题
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 是它的部分和，则下列结论中
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} a_{n}$ 发散。
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收敛。
（3）若 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是有界数列，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。
（4）若 $a_{n}>a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（4），（1）．
答题 区
第 619 题
## 第619题 (高等数学 - 选择题)
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 是它的部分和，则下列结论中
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} a_{n}$ 发散。
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收敛。
（3）若 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是有界数列，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。
（4）若 $a_{n}>a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
正确的是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（4），（1）．
答题 区
第 624 题
### 第624题
设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是
（A）$a \in(0,+\infty)$ ．
（B）$a \in(0,1]$ ．
（C）$a \in[1,+\infty)$ ．
（D）$\displaystyle a \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．设 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为大于 1 的常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\gamma}+\alpha^{n}}{n^{\alpha}+\ln ^{\beta} n+\gamma^{n}}$
第 624 题
## 第624题 (高等数学 - 选择题)
设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是
（A）$a \in(0,+\infty)$ ．
（B）$a \in(0,1]$ ．
（C）$a \in[1,+\infty)$ ．
（D）$\displaystyle a \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．设 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为大于 1 的常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\gamma}+\alpha^{n}}{n^{\alpha}+\ln ^{\beta} n+\gamma^{n}}$
第 626 题
### 第626题
设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$
（A）发散．
（B）条件收敛．
（C）绝对收敛。
（D）玫散性不能仅由题设条件确定．
第 626 题
## 第626题 (高等数学 - 选择题)
设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$
（A）发散．
（B）条件收敛．
（C）绝对收敛。
（D）玫散性不能仅由题设条件确定．
第 627 题
### 第627题
在如下四个级数
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ．
中，条件收敛的级数是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（1），（4）．
第 627 题
## 第627题 (高等数学 - 选择题)
在如下四个级数
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ．
中，条件收敛的级数是
（A）（1），（2）．
（B）（2），（3）．
（C）（3），（4）．
（D）（1），（4）．
第 628 题
### 第628题
下列四个级数中，发散的级数是
（A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ．
（B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ．
（C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）．
（D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．
第 628 题
## 第628题 (高等数学 - 选择题)
下列四个级数中，发散的级数是
（A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ．
（B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ．
（C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）．
（D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．
第 630 题
### 第630题
设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$
（A）发散．
（B）绝对收敛．
（C）条件收敛。
（D）敛散性与 $a$ 有关．