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数列极限的定义（ε-N语言）
第 245 题
## 第245题 (高等数学 - 选择题)
设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f(x+1, \ln (1+x))=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$
（A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ．
（B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ．
（D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．
第 247 题
### 第247题
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则
（A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零。
（C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值．
（D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．
第 247 题
## 第247题 (高等数学 - 选择题)
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则
（A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零。
（C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值．
（D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．
第 25 题
### 第25题
设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．
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第 25 题
## 第25题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．
## ✓ 纠错笔记
第 25 题
### 【强化篇】第25题（解答题）
25．设 $f(x)=a_{1} \sin x+a_{2} \sin 2 x+\cdots+a_{n} \sin n x$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 都是常数，且 $|f(x)| \leqslant |\sin x|$ ．证明：$\left|a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}\right| \leqslant 1$ ．
## 第4章 一元函数微分学的计算
第 254 题
### 第254题
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则
（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
（D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
第 254 题
## 第254题 (高等数学 - 选择题)
已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则
（A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点．
（B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点．
（C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点．
（D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
第 26 题
### 【强化篇】第26题（解答题）
26．设 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，证明：$f(x) \leqslant x$ ．
第 27 题
### 第27题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
第 27 题
## 第27题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
第 27 题
### 【强化篇】第27题（填空题）
27．当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=1-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$
$\_\_\_\_$ ．
第 28 题
### 第28题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．
答题 区
第 28 题
## 第28题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．
答题 区
第 28 题
### 【强化篇】第28题（填空题）
28．当 $x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}-\arctan x$ 与 $g(x)=a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
第 29 题
### 第29题
设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 29 题
## 第29题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 3 题
### 第3题
设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$
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第 3 题
## 第3题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$
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第 3 题
### 【强化篇】第3题（填空题）
3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{2}{x}}-1\right)^{\frac{2}{\ln x}}=$ $\_\_\_\_$ ．