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数列极限的定义（ε-N语言）
第 23 题
### 【基础篇】第23题（选择题）
23．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{x+\mathrm{e}^{t x}}{1+\mathrm{e}^{t x}}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ．
（A）可去间断点
（B）跳跃间断点
（C）振荡间断点
（D）无穷间断点
第 23 题
### 【强化篇】第23题（选择题）
23．设连续函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 点可导，$f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{2}, f^{\prime}\left(x_{0}\right)>2 x_{0}$ ，则存在 $\delta>0$ ，使
（1）$f(x)-x^{2}$ 在 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 单调增加；
（2）$f(x)-x^{2}$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 单调减少；
（3）对任意 $x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ，有 $f(x)>x^{2}$ ；
（4）对任意 $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ ，有 $f(x)
第 230 题
### 第230题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续、偏导数存在．
（B）连续、偏导数不存在．
（C）不连续、偏导数存在．
（D）不连续、偏导数不存在．
答题 区
第 230 题
## 第230题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续、偏导数存在．
（B）连续、偏导数不存在．
（C）不连续、偏导数存在．
（D）不连续、偏导数不存在．
答题 区
第 231 题
### 第231题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续但偏导数不存在．
（C）连续且偏导数存在但不可微．
（D）可微。
答题 区
232设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
第 231 题
## 第231题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续但偏导数不存在．
（C）连续且偏导数存在但不可微．
（D）可微。
答题 区
232设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
第 233 题
### 第233题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（D）全微分存在但一阶偏导函数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．
答题 区
第 233 题
## 第233题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（D）全微分存在但一阶偏导函数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．
答题 区
第 234 题
### 第234题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．
（D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续．
答题 区
第 234 题
## 第234题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．
（B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微．
（C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续．
（D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续．
答题 区
第 235 题
### 第235题
设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续但两个偏导数不存在．
（C）两个偏导数存在但不可微．
（D）可微．
236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
第 235 题
## 第235题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
（A）不连续．
（B）连续但两个偏导数不存在．
（C）两个偏导数存在但不可微．
（D）可微．
236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
第 237 题
### 第237题
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是
（A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在．
（D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
第 237 题
## 第237题 (高等数学 - 选择题)
函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是
（A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在．
（D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
第 238 题
### 第238题
如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
（A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．
（D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．
第 238 题
## 第238题 (高等数学 - 选择题)
如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
（A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
（C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．
（D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．
第 24 题
### 【强化篇】第24题（选择题）
24．当 $x \rightarrow 0$ 时，$\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是非零且不相等的等价无穷小量，以下 4 个结论：
$(1) \alpha(x)+\beta(x)=2 \alpha(x)$ ；
（2）$\alpha(x)+\beta(x)=2 \beta(x) ;$
第1章 函数极限与连续
（3）$\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ；
（4）$\alpha(x)-\beta(x)=o(\beta(x))$ ．
所有正确结论的序号是 ．
（A）（1）（3）
（C）（1）（2）（3）（4）
（B）（3）（4）
（D）（2）（4）
第 24 题
### 【强化篇】第24题（选择题）
24．设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
（4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在．
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件的个数是（ ）。
（A） 1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
第 240 题
### 第240题
设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则
（A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在．
（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
第 240 题
## 第240题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则
（A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．
（B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在．
（C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
（D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．