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数列极限的定义（ε-N语言）

考研数学一基础题库 · 共 284 道习题 · 第6页/共15页

### 第158题设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得（A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升．（B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ．（C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ．（D）$f(x)

## 第158题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得（A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升．（B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ．（C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ．（D）$f(x)

### 第16题设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。

## 第16题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第16题（填空题） 16． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+2 x+b, & x \leqslant 0, \\ \ln (1+a x), & x>0\end{array}\right.$ 处处可导，试确定常数 $a$ 和 $b$ 的值，并求出 $f^{\prime}(x)$ ．

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ，计算 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{x}\right)}{f(a)}\right]^{x}$ ．

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．确定常数 $k$ 的取值范围，使方程 $x-\arctan x=k x^{3}$ 在 $(0,1]$ 内有实根．

### 第160题设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则（A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值．（B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值．（C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．（D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．

## 第160题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则（A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值．（B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值．（C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．（D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．

## 第161题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则（A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．答题区

### 第163题设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则（A）$f_{+}^{\prime}(a)=0$ ．（B）$f_{+}^{\prime}(a) \geqslant 0$ ．（C）$f_{+}^{\prime}(a)<0$ ．（D）$f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0$ ．

## 第163题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则（A）$f_{+}^{\prime}(a)=0$ ．（B）$f_{+}^{\prime}(a) \geqslant 0$ ．（C）$f_{+}^{\prime}(a)<0$ ．（D）$f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0$ ．

### 第164题数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为（A）$\sqrt{2}$ ．（B）$\sqrt[3]{3}$ ．（C）$\sqrt[4]{4}$ ．（D）$\sqrt[5]{5}$ ．答题区

## 第164题 (高等数学 - 选择题) 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为（A）$\sqrt{2}$ ．（B）$\sqrt[3]{3}$ ．（C）$\sqrt[4]{4}$ ．（D）$\sqrt[5]{5}$ ．答题区

### 第17题设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

## 第17题 (高等数学 - 填空题) 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，在 $x=a$ 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是（）。（A）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f^{\prime}(a)=A$ （B）若 $f^{\prime}(a)=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$ （C）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=\infty$ ，则 $f^{\prime}(a)$ 不存在（D）若 $f^{\prime}(a)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow-a}(x)=\infty$

### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设方程 $\displaystyle \frac{\tan x}{x}=k$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 内有实根，则常数 $k$ 的取值范围为（）。（A） $\displaystyle 0

### 第175题函数 $f(x)=3 \ln x-x$ （A）没有零点．（B）有 1 个零点．（C）有 2 个零点．（D）有 3 个零点．

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