数列极限的定义（ε-N语言）

### 第147题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$ （A）$(2,1)$ ． （B）$(1,0)$ ． （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ． （D）$(3,2)$ ．

## 第147题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$ （A）$(2,1)$ ． （B）$(1,0)$ ． （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ． （D）$(3,2)$ ．

### 第148题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则 （A）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （B）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （C）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续． （D）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．

## 第148题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则 （A）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （B）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （C）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续． （D）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．

### 第149题 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．

## 第149题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．

### 第15题 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ． ## －纠错笔记

## 第15题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ． ## －纠错笔记

### 【基础篇】第15题（填空题） 15． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(1+2^{x}\right) \ln \left(1+\frac{2}{x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第15题（填空题） 15． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{n(x-1)}+a x+b}{5+\mathrm{e}^{n(x-1)}}$ ，求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的连续性及可导性与 $a, b$ 的关系．

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．已知 $(1,0)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上，且曲线在该点与 $y=\ln \left(2 x^{2}-1\right)$ 有公共的切线，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{n+1}{n}\right)-f\left(\frac{n+2}{n}\right)\right]=$

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．函数 $f(x)$ 对于一切实数 $x$ 满足微分方程 $$ x f^{\prime \prime}(x)+5 x^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=2\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right) $$ （1）若 $x=\alpha(\alpha \neq 0)$ 时，$f(x)$ 取极值，判别其是极大值还是极小值； （2）若 $x=0$ 时，$f(x)$ 取极值，判别其为极大值还是极小值．

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 与 $N\left(\mu, 2 \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma>0$ 。记 $Z=X-Y$ 。 （1）求 $Z$ 的概準密度 $f\left(z ; \sigma^{2}\right)$ ； （2）设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\tilde{\sigma}^{2}$ ； （3）是否存在实数 $a$ ，使得对任意的 $\varepsilon>0$ ，都有 $\lim _{a \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\sigma}^{2}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ？

### 第150题 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ． 答题 区 ## －纠错笔记

## 第150题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ． 答题 区 ## －纠错笔记

### 第151题 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ． 答题 区

## 第151题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ． 答题 区

### 第154题 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导。 （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对。

## 第154题 (高等数学 - 选择题) 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导。 （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对。