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数列极限的定义（ε-N语言）
第 175 题
## 第175题 (高等数学 - 选择题)
函数 $f(x)=3 \ln x-x$
（A）没有零点．
（B）有 1 个零点．
（C）有 2 个零点．
（D）有 3 个零点．
第 18 题
### 第18题
设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ．
19当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 的等价无穷小形式为 $\mathrm{e}^{\alpha}(\beta \mathrm{e})^{n}$ ，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$
$\_\_\_\_$。
第 18 题
## 第18题 (高等数学 - 填空题)
设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ．
19当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 的等价无穷小形式为 $\mathrm{e}^{\alpha}(\beta \mathrm{e})^{n}$ ，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$
$\_\_\_\_$。
第 18 题
### 【强化篇】第18题（填空题）
18．设 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln |x|}{2 x^{2}-\ln |x|}$ ，则 $f^{\prime}(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 18 题
### 【强化篇】第18题（解答题）
18．已知方程 $\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}=k$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 内有实根，求常数 $k$ 的取值范围．
第 19 题
### 【强化篇】第19题（填空题）
19．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-b}{x-a}=A$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{\cos f(x)-\cos b}{x-a}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 19 题
### 【基础篇】第19题（选择题）
19．设 $f(x)=n x(1-x)^{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{n}\right)$ ，且记 $M(n)=\max _{x \in[0,1]} f(x)$ ，则必有（ ）。
（A） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\mathrm{e}$
（B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\frac{1}{\mathrm{e}}$
（C） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=0$
（D） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\infty$
第 2 题
### 【基础篇】第2题（填空题）
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{99}}{n^{100}-(n-1)^{100}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 2 题
### 【强化篇】第2题（选择题）
2．设 $a_{n}$ 是方程 $x=\tan \sqrt{x}$ 在 $\displaystyle \left((n \pi)^{2},\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2}\right)(n=1,2, \cdots)$ 内的根，则 $\lim _{n+\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}\right)=$ （ ）．
（A） 0
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
（C）$\sqrt{\pi}$
（D）$\pi$
第 2 题
### 【强化篇】第2题（选择题）
2．设 $f\left(x+x_{0}\right)=a f(x)$ 恒成立，$f^{\prime}(0)=\beta\left(\alpha, \beta\right.$ 为非零常数），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处（ ）。
（A）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\alpha \beta$
（B）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\alpha$
（C）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\beta$
（D）不可导
第 2 题
### 【基础篇】第2题（填空题）
2．设 $f(x)=(\ln x-1)\left(\ln ^{2} x-2\right) \cdots\left(\ln ^{n} x-n\right), n \geqslant 2$ ，则 $f^{\prime}(\mathrm{e})=$ $\_\_\_\_$ ．
第 2 题
### 【基础篇】第2题（选择题）
2．若方程 $x-\operatorname{eln} x-k=0$ 在 $(0,1]$ 上有解，则 $k$ 的最小值为（ ）．
（A）-1
（B）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$
（C） 1
（D） e
第 2 题
### 【基础篇】第2题（填空题）
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}[\ln (3 n-2 i)-\ln (n+2 i)]=$ $\_\_\_\_$。
第 2 题
### 【强化篇】第2题（选择题）
2．设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x \cos y, & x \neq 0, \\ 1-\cos y, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $(\quad)$ 。
（A）$f_{x}^{\prime}(0,0)=0$
（B） $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=0$
（C）$f_{x x}^{\prime \prime}(0,0)=1$
（D）$f_{y}^{\prime}(0,0)=1$
第 2 题
### 【强化篇】第2题（填空题）
2．设总体 $X$ 服从均匀分布，其概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta}, & 0
第 20 题
### 【基础篇】第20题（填空题）
20．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1-x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)}(x \neq 1,2)$ ，若 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，则 $f(1) f(2)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 20 题
### 【强化篇】第20题（解答题）
20．已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\cos x)-3 f\left(1+\sin ^{2} x\right)}{x^{2}}=2$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
第 200 题
### 第200题
数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
第 200 题
## 第200题 (高等数学 - 选择题)
数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=$
（A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
第 201 题
### 第201题
数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$
（A）0．
（B）不存在．
（C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．
答题 区