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数列极限的定义（ε-N语言）
第 201 题
## 第201题 (高等数学 - 选择题)
数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$
（A）0．
（B）不存在．
（C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ．
答题 区
第 21 题
### 【基础篇】第21题（选择题）
21．函数 $\displaystyle f(x)=\frac{|x| x-1}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为（ ．
（A） 0
（B） 1
（C） 2
（D） 3
第 21 题
### 【强化篇】第21题（选择题）
21．设 $\alpha(x)$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的非零无穷小量，且 $\alpha(2 x)-\alpha(x)=o(x)$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{x}$ 的值是（ ）。
（A） 0
（B） 1
（C）$\infty$
（D） 0 或 $\infty$
第 21 题
### 【强化篇】第21题（解答题）
21．设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{2}(x)-a}{x^{2}-a^{2}}=1(a>0)$ ，求 $f^{\prime}(a)$ ．
第 213 题
### 第213题
设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$
（A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关．
（B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关．
（C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关。
（D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关。
第 213 题
## 第213题 (高等数学 - 选择题)
设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$
（A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关．
（B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关．
（C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关。
（D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关。
第 22 题
### 第22题
设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为
$\_\_\_\_$。
第 22 题
## 第22题 (高等数学 - 填空题)
设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为
$\_\_\_\_$。
第 22 题
### 【基础篇】第22题（选择题）
22．函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln |1-x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x+2)}$ 的第二类间断点的个数为 ．
（A） 0
（B） 1
（C） 2
（D） 3
第 22 题
### 【强化篇】第22题（解答题）
22．已知 $\displaystyle a_{n}=1-\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\sin \frac{1}{n^{2}}$ ，可导函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $x=0$ 处取得极值．计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(a_{n}\right)\right]$ ．
第 226 题
### 第226题
设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$
（A） 1 ．
（B） 0 ．
（C）$+\infty$ ．
（D）不存在，也不为 $\infty$ ．
（－）纠错笔记
第 226 题
## 第226题 (高等数学 - 选择题)
设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$
（A） 1 ．
（B） 0 ．
（C）$+\infty$ ．
（D）不存在，也不为 $\infty$ ．
（－）纠错笔记
第 227 题
### 第227题
设 $k$ 为常数，则极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \sin k y}{x^{2}+y^{4}}$
（A）等于 0 ．
（B）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）不存在．
（D）存在与否和 $k$ 取值有关．
第 227 题
## 第227题 (高等数学 - 选择题)
设 $k$ 为常数，则极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \sin k y}{x^{2}+y^{4}}$
（A）等于 0 ．
（B）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）不存在．
（D）存在与否和 $k$ 取值有关．
第 228 题
### 第228题
极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$
（A）不存在．
（B）等于 2 ．
（C）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D）等于 0 ．
第 228 题
## 第228题 (高等数学 - 选择题)
极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$
（A）不存在．
（B）等于 2 ．
（C）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D）等于 0 ．
第 229 题
### 第229题
极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$
（A）不存在．
（B）等于 1 ．
（C）等于 0 ．
（D）等于 2 ．
答题 区
第 229 题
## 第229题 (高等数学 - 选择题)
极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$
（A）不存在．
（B）等于 1 ．
（C）等于 0 ．
（D）等于 2 ．
答题 区
第 23 题
### 第23题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}6, & x \leqslant 0 \\ \frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 \sin (x-1)}{x-1}, & x<1 \\ \mathrm{e}^{b x}+1, & x \geqslant 1\end{array}\right.\right.$ ，
若 $f(x)+g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$且 $b=$ $\_\_\_\_$。
第 23 题
## 第23题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}6, & x \leqslant 0 \\ \frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 \sin (x-1)}{x-1}, & x<1 \\ \mathrm{e}^{b x}+1, & x \geqslant 1\end{array}\right.\right.$ ，
若 $f(x)+g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$且 $b=$ $\_\_\_\_$。