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数列极限的定义（ε-N语言）
第 3 题
### 【强化篇】第3题（选择题）
3．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，则以下选项中使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的是（ ）。
（A）$\displaystyle \left\{\left(1+a_{n}\right)^{\frac{1}{a_{n}}}\right\}$ 收敛于 1
（B）$\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}\right\}$ 收敛于 e
（C）$\left\{a_{n} \ln a_{n}\right\}$ 收敛于 0
（D）$\displaystyle \left\{\frac{\ln a_{n}}{a_{n}}\right\}$ 收敛于 0
第 3 题
### 【基础篇】第3题（选择题）
3．设连续函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\ln (x-1)}{f(3-x)}=2$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f^{\prime}(1)$ 的值为 () 。
（A） 2
（B）-2
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$
（D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$
第 3 题
### 【强化篇】第3题（选择题）
3．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{t}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $t$ 为非零常数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。
（A）不连续
（B）连续但不可导
（C）可导但 $f^{\prime}(x)$ 不连续
（D）可导且 $f^{\prime}(x)$ 连续
第 3 题
### 【基础篇】第3题（填空题）
3．设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=-1, f^{\prime}(0)=1$ ，若 $y(x)=|f(x-1)|$ ，则 $y^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 3 题
### 【基础篇】第3题（选择题）
3．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos |x|-1, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ）．
（A）可导点，极值点
（B）不可导点，极值点
（C）可导点，非极值点
（D）不可导点，非极值点
第 30 题
### 第30题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
◯纠错笔记
第 30 题
## 第30题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
◯纠错笔记
第 31 题
## 第31题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则
$$
I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}=
$$
$\_\_\_\_$ ．
第 33 题
### 【强化篇】第33题（填空题）
33．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2) \cdot n!}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 34 题
### 【强化篇】第34题（解答题）
34．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[a \frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}\right]$ 存在，求 $a$ 的值．
第 36 题
### 【强化篇】第36题（选择题）
36．设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x-1}-1}=1$ ，则 ．
（A）$f(1)=0$
（B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
（C）$f^{\prime}(1)=0$
（D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1$
第 37 题
### 【强化篇】第37题（选择题）
37．设 $g(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}$ ，则 ．
（A） $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)$ 不存在
（B） $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)$ 存在，但在 $x=1$ 处 $g(x)$ 不连续
（C）在 $x=1$ 处 $g(x)$ 导数存在
（D）在 $x=1$ 处 $g(x)$ 连续，但不可导
第 4 题
### 【基础篇】第4题（解答题）
4．设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，且 $a>0$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow-\infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（解答题）
4．设 $f(x)$ 满足 $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ ，对任意不同的 $x, y$ 均成立，且
$$
f\left(x_{1}\right)>x_{1}, f\left(x_{1}+1\right)
第 4 题
### 【基础篇】第4题（填空题）
4．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=f^{\prime}(0)=\sqrt{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{2}(x)-2}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（选择题）
4．设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且在点 $x=0$ 处连续，则以下结论：
（1）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导；
（2）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导；
（3）当 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ ．
所有正确结论的序号为（ ）。
（A）（1）
（B）（2）
（C）（2）（3）
（D）（1）（2）
第 4 题
### 【基础篇】第4题（选择题）
4．已知函数 $\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+a(x>0)$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）。
（A）$(-1,0)$
（B）$(0,1)$
（C）$(-\infty, 0)$
（D）$(0,+\infty)$
第 4 题
### 【强化篇】第4题（解答题）
4．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导．
（1）若 $f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）若 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \ln \frac{2 x+1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{2}{2 \xi+1}-\frac{1}{\sqrt{1+\xi^{2}}}$ ．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（解答题）
4．若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某个邻域内有定义，$f(0,0)=0$ ，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=a$ ，其中 $a$ 为常数．
（1）讨论函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的连续性；
（2）当 $a$ 为何值时，函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微？并求 $\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}$ ．
第 40 题
### 【强化篇】第40题（解答题）
40．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}+(\cos \pi x+1) \sin \alpha x}{x^{n}+(\cos \pi x+1)}$ ，为使 $f(x)$ 对于一切 $x$ 都连续，求常数 $\alpha$ 的最小正值．