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数列极限的定义（ε-N语言）
第 42 题
### 【强化篇】第42题（选择题）
42．$\displaystyle f(x)=\frac{|\ln | x| |}{x^{2}-1}$ 有（ ）．
（A）两个跳跃间断点，一个无穷间断点
（B）两个可去间断点，一个无穷间断点
（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个无穷间断点
（D）三个无穷间断点
## 第2章 数列极限
第 49 题
### 第49题
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
第 49 题
## 第49题 (高等数学 - 填空题)
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 第5题
I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
## 第5题 (高等数学 - 填空题)
I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（填空题）
5．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+2 x+3 x^{2}+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{5}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【基础篇】第5题（填空题）
5．当 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．设 $\displaystyle 0 \leqslant x_{1} \leqslant \sqrt{c}, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}}, n \in \mathbf{Z}^{+}, c>1$ ．证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其值．
第 5 题
### 【基础篇】第5题（填空题）
5．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{(n+1)^{2}}
第 5 题
### 【强化篇】第5题（选择题）
5．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 记 $F(x)=g[f(x)], g(x)$ 可导，则 $F(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。
（A）不连续
（B）可导且 $F^{\prime}(0)=0$
（C）连续但不可导
（D）可导且 $F^{\prime}(0) \neq 0$
第 5 题
### 【基础篇】第5题（填空题）
5．设存在 $0<\theta<1$ ，使得 $\displaystyle \arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^{2}}},-1 \leqslant x \leqslant 1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 回答以下问题，并说明理由：
（1）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否连续？
（2）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个一阶偏导数是否存在？若存在，求出这两个偏导数．
（3）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否可微？若可微，求出函数的微分．
第 5 题
### 【基础篇】第5题（填空题）
5．某保险公司接受了 10000 辆汽车的保险，每辆汽车每年的保费为 1.2 万元。若汽车丢失，则车主获得赔偿 100 万元。设汽车的丢失率为 0.006 ，对于此项业务，利用中心极限定理，则保险公司一年所获利润不少于 6000 万元的概率为 $\_\_\_\_$。
第 576 题
### 第576题
在级数
（1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ，
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ，
（3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ，
（4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$
中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．
第 576 题
## 第576题 (高等数学 - 填空题)
在级数
（1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ，
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ，
（3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ，
（4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$
中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．
第 577 题
### 第577题
若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{n}\left(\ln \frac{n+1}{n-1}\right)^{p}$ 收敛，则其中常数 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
第 577 题
## 第577题 (高等数学 - 填空题)
若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{n}\left(\ln \frac{n+1}{n-1}\right)^{p}$ 收敛，则其中常数 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
第 6 题
### 第6题
\quad I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 6 题
## 第6题 (高等数学 - 填空题)
\quad I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 6 题
### 【基础篇】第6题（选择题）
6．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-f(x-1)-1}{\ln x}=1$ ，则以下结论：
（1）$f(0)=0$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ；
（4）当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小。
所有正确结论的序号为（ ）。
（A）（1）（2）
（B）（2）（4）
（C）（3）（4）
（D）（2）（3）