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数列极限的定义（ε-N语言）
第 136 题
### 第136题
下列各题计算过程中正确无误的是
（A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ．
（B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在．
（D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ．
答题 区
第 136 题
## 第136题 (高等数学 - 选择题)
下列各题计算过程中正确无误的是
（A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ．
（B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ．
（C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在．
（D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ．
答题 区
第 137 题
### 第137题
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$$
（A） 3 ．
（B） 2 ．
（C）$\frac{2}{3}$ ．
（D）$\frac{1}{2}$ ．
答题 区$
第 137 题
## 第137题 (高等数学 - 选择题)
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$$
（A） 3 ．
（B） 2 ．
（C）$\frac{2}{3}$ ．
（D）$\frac{1}{2}$ ．
答题 区$
第 14 题
### 第14题
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
## ✓ 纠错笔记
第 14 题
## 第14题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
## ✓ 纠错笔记
第 14 题
### 【基础篇】第14题（填空题）
14． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2}-x \ln (1+x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 14 题
### 【强化篇】第14题（解答题）
14．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}}\right]$ ．
第 14 题
### 【强化篇】第14题（解答题）
14．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足：
$$
$\begin{gathered}$
a_{0}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=a_{n}^{2}, n=0,1,2, \cdots \\
b_{n}=\tan b_{n+1}, 0<-b_{n}<\frac{\pi}{4}, n=0,1,2, \cdots
\end{gathered}
$$
计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ．
第 14 题
### 【强化篇】第14题（选择题）
14．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1+x)^{x}-1, & x>-1, x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则在 $x=0$ 处（ ）．
（A）$f(x)$ 连续，但 $f^{\prime}(0)$ 不存在
（B）$f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
（C）$f^{\prime}(x)$ 连续，但 $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
（D）$f^{\prime \prime}(0)$ 存在
第 14 题
### 【基础篇】第14题（填空题）
14．设函数 $\displaystyle f(x)=n^{2} \mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-(1+n) x$ ，若 $f(x)$ 在 $x=\xi_{n}$ 处取得极值，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 14 题
### 【强化篇】第14题（解答题）
14．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)=f(1)=0$ ，在 $(0,1)$ 内二阶可导且 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，记 $M= \max _{0 \leqslant x \leqslant 1}\{f(x)\}$.
（1）证明：对任意正整数 $n$ ，存在唯一的 $x_{n} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{n}\right)=\frac{M}{n}$ ；
（2）对（1）中得到的 $\left\{x_{n}\right\}$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=M$ ．
第 141 题
### 第141题
以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是
（A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ．
（B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ．
（C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ．
（D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{cases}$
第 141 题
## 第141题 (高等数学 - 选择题)
以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是
（A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ．
（B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ．
（C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ．
（D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{cases}$
第 142 题
### 第142题
设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则
（A）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。
（B）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（D）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．
答题 区
第 142 题
## 第142题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则
（A）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。
（B）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
（D）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．
答题 区
第 145 题
### 第145题
设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的
（A）充分非必要条件．
（B）必要非充分条件．
（C）充要条件．
（D）既非充分又非必要条件．
第 145 题
## 第145题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的
（A）充分非必要条件．
（B）必要非充分条件．
（C）充要条件．
（D）既非充分又非必要条件．
第 146 题
### 第146题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
（A）极限不存在．
（B）极限存在，但不连续．
（C）连续，但不可导．
（D）可导．
第 146 题
## 第146题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
（A）极限不存在．
（B）极限存在，但不连续．
（C）连续，但不可导．
（D）可导．