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数列极限的定义（ε-N语言）
第 11 题
## 第11题 (高等数学 - 填空题)
设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 11 题
### 【强化篇】第11题（解答题）
11．设函数 $f(x)$ 在 $0<|x|<1$ 上有定义，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\cos x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{2}}=\mathrm{e}^{-1}$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin ^{3} x}$ ．
第 11 题
### 【强化篇】第11题（解答题）
11．设 $f(x)$ 有二阶连续导函数，且 $f(0)=0$ ，令 $\displaystyle g(x)= \begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \\ f^{\prime}(0), & x=0 .\end{cases}$
（1）求 $g^{\prime}(x)$ ；
（2）讨论 $g^{\prime}(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性．
第 11 题
### 【强化篇】第11题（填空题）
11．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+x}{1-\cos x}=2$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 12 题
### 【基础篇】第12题（填空题）
12． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)^{\frac{1}{\min x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 12 题
### 【基础篇】第12题（解答题）
12．设单调递减数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=2 \ln \left(1+x_{n}\right), n=1,2, \cdots, x_{1}>a>0$ ，且 $a$ 是 $x-2 \ln (1+ x)=0$ 的唯一非零解，证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
第 12 题
### 【强化篇】第12题（解答题）
12．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}, n=2,3, \cdots$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)^{\ln \left(1+\mathrm{e}^{2 n}\right)}$ ．
第 12 题
### 【基础篇】第12题（填空题）
12．设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，$\displaystyle x_{n}=\sin \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}-x_{n}\right)}{\sin \frac{1}{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 12 题
### 【强化篇】第12题（解答题）
12．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \arctan \frac{1}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ \frac{\pi}{2}\left(\mathrm{e}^{\sin x}-1\right), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性和可导性；若可导，讨论其导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
第 12 题
### 【基础篇】第12题（填空题）
12．设 $\displaystyle f(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \cos t \cdot\left(\frac{n+t}{n-t}\right)^{n}$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 12 题
### 【基础篇】第12题（选择题）
12．设 $f(x)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=k(k<0)$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处（ ）。
（A）导数不存在
（B）导数存在，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$
（C）取得极小值
（D）取得极大值
第 121 题
### 第121题
设有下列命题
（1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。
（2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数．
（3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。
（4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
第 121 题
## 第121题 (高等数学 - 选择题)
设有下列命题
（1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。
（2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数．
（3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。
（4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ．
则以上命题中正确的个数是
（A） 1 ．
（B） 2 ．
（C） 3 ．
（D） 4 ．
第 122 题
### 第122题
设 $\displaystyle 1
第 122 题
## 第122题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle 1
第 123 题
### 第123题
有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，
（1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在．
（3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在．
则以上命题中正确的个数是
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C）2．
（D） 3 ．
$$
$\begin{gathered}$
x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\
x=2
\end{gathered}
$$
第 123 题
## 第123题 (高等数学 - 选择题)
有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，
（1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在．
（3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在．
（4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在．
则以上命题中正确的个数是
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C）2．
（D） 3 ．
$$
$\begin{gathered}$
x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\
x=2
\end{gathered}
$$
第 125 题
### 第125题
下列命题中正确的是
（A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ．
（B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ．
（C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ．
（D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ．
□
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}=$
第 125 题
## 第125题 (高等数学 - 选择题)
下列命题中正确的是
（A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ．
（B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ．
（C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ．
（D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ．
□
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}=$
第 127 题
### 第127题
当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的
（A）高阶无穷小。
（B）低阶无穷小。
（C）等价无穷小。
（D）同阶但非等价无穷小。
答题 区