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数列极限的定义（ε-N语言）
第 127 题
## 第127题 (高等数学 - 选择题)
当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的
（A）高阶无穷小。
（B）低阶无穷小。
（C）等价无穷小。
（D）同阶但非等价无穷小。
答题 区
第 128 题
## 第128题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是
（A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ．
（B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ．
（C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ．
（D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．
第 129 题
### 第129题
$f(x)=$\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有$
（A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ．
（B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ．
（C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ．
（D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ \．
第 129 题
## 第129题 (高等数学 - 选择题)
$f(x)=$\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有$
（A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ．
（B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ．
（C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ．
（D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ \．
第 13 题
### 第13题
设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
## 第13题 (高等数学 - 填空题)
设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
### 【基础篇】第13题（填空题）
13．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x^{3}+a x^{2}-3 x+6}{x+2}=b$ ，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
### 【强化篇】第13题（选择题）
13．$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \pi^{x}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}\right]$ 在 $x=1$ 处（ ）。
（A）左极限存在，右极限不存在
（B）左极限不存在，右极限存在
（C）左、右极限都存在，但不相等
（D）连续
第 13 题
### 【基础篇】第13题（填空题）
13．设 $f(x)$ 为在 $x=0$ 处可导的奇函数，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(t x)-5 f(x)}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 13 题
### 【基础篇】第13题（填空题）
13．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow \infty} x\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t \sin x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 130 题
### 第130题
I=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$$
（A） 0 ．
（B）$-\frac{1}{6}$ ．
（C）$-\frac{1}{8}$ ．
（D）$-\frac{1}{12}$ ．$
第 130 题
## 第130题 (高等数学 - 选择题)
I=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$$
（A） 0 ．
（B）$-\frac{1}{6}$ ．
（C）$-\frac{1}{8}$ ．
（D）$-\frac{1}{12}$ ．$
第 131 题
### 第131题
若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则
（A）$k=2, a=1$ ．
（B）$k=-2, a=-1$ ．
（C）$k=2, a=-2$ ．
（D）$k=2, a=-1$ ．
第 131 题
## 第131题 (高等数学 - 选择题)
若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则
（A）$k=2, a=1$ ．
（B）$k=-2, a=-1$ ．
（C）$k=2, a=-2$ ．
（D）$k=2, a=-1$ ．
第 132 题
### 第132题
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$$
（A） 1 ．
（B）$\frac{1}{2}$ ．
（C）$\frac{1}{3}$ ．
（D） 0 ．
$$
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$
$$
第 132 题
## 第132题 (高等数学 - 选择题)
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$$
（A） 1 ．
（B）$\frac{1}{2}$ ．
（C）$\frac{1}{3}$ ．
（D） 0 ．
$$
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$
$$
第 134 题
### 第134题
已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则
（A）$a=5, b=-2$ ．
（B）$a=-2, b=5$ ．
（C）$a=2, b=0$ ．
（D）$a=3, b=-3$ ．
第 134 题
## 第134题 (高等数学 - 选择题)
已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则
（A）$a=5, b=-2$ ．
（B）$a=-2, b=5$ ．
（C）$a=2, b=0$ ．
（D）$a=3, b=-3$ ．
第 135 题
### 第135题
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$
（A） 0 ．
（B） 35 ．
（C） 36 ．
（D）$\infty$ ．
答题 区
（J）纠错笔记
第 135 题
## 第135题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$
（A） 0 ．
（B） 35 ．
（C） 36 ．
（D）$\infty$ ．
答题 区
（J）纠错笔记