常数项级数的概念（级数、部分和、收敛、发散）

### 第10题 10．设总体 $X$ 服从参数 $\lambda=1$ 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X$ 的简单随机样本，且 $\displaystyle E\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\frac{9 n}{10}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ． 答案见答案冊第172页

### 第152题 152 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ． （B）$n^{2} 3^{n-1}$ ． （C） $3^{n-2} n(n-1)$ ． （D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ．

### 第350题 350 设 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1 \\ & & & & 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{J}=$ （A）$\left[\begin{array}{cccc}0 & a_{11} & \cdots & a_{1, n-1} \\ 0 & a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1}\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{cccc}0 & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & \cdots & a_{1, n-1} & 0 \\ a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1} & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{cccc}a_{12} & \cdots & a_{1 n} & 0 \\ a_{22} & \cdots & a_{2 n} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & 0\end{array}\right]$ ．

### 第458题 458 设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k} k!(\sqrt{\mathrm{e}}-1)}, k=1,2, \cdots$ ，则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第459题 459 相互独立的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 具有相同的方差 $\sigma^{2}>0$ ，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $D\left(X_{i}-\bar{X}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $D(X+Y)=1$ ，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=$ $\_\_\_\_$。 □ 461设随机变量 $X$ 服从分布 $E(1)$ ，记 $Y=\min \{|X|, 1\}$ ，则 $Y$ 的数学期望 $E(Y)=$ $\_\_\_\_$。 □

### 第464题 464 已知二维随机变量 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)\left(\sigma_{1}>0, \sigma_{2}>0\right)$ ，则二维随机变量 $\displaystyle \left(\frac{X-\mu_{1}}{\sigma_{1}}, Y\right) \sim$ $\_\_\_\_$ ． 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$ ，则 $\lambda=$$\_\_\_\_$。 □ 466 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>1)$ 独立同分布，且方差为 $\sigma^{2}>0$ ，记 $Y_{1}=\sum_{i=2}^{n} X_{i}$ 和 $Y_{n}=\sum_{j=1}^{n-1} X_{j}$ ，则 $Y_{1}$ 和 $Y_{n}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第468题 468 将一个骰子重复掷 $n$ 次，各次掷出的点数依次为 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ ．则当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ． □

### 第470题 470 设相互独立的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 均服从标准正态分布，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则随机变量 $X_{1}-\bar{X}$ 服从的分布及参数为 $\_\_\_\_$ ． C □

### 第473题 473 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，而 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ．记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $\displaystyle P\left\{\overline{\boldsymbol{X}}=\frac{k}{n}\right\}=$ $\_\_\_\_$ $(0 \leqslant k \leqslant n)$ ． □

### 第477题 477 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $E(\lambda)(\lambda>0)$ 的简单随机样本，记统计量 $\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ，则 $E T=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第484题 484 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度函数为 $$ f(x)=\frac{1}{2 \lambda} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\lambda}}, \quad-\infty0 $$ 则 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第485题 485 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma_{0}^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma_{0}^{2}$ 已知，$\mu$ 未知，则参数 $\mu$ 的最大似然估计 $\hat{\mu}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第497题 497 设离散型随机变量 $X$ 服从分布律 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{C}{k!} \mathrm{e}^{-2}, k=0,1,2, \cdots$ ，则常数 $C$ 必为 （A） 1 ． （B）e． （C） $\mathrm{e}^{-1}$ ． （D） $\mathrm{e}^{-2}$ ．