矩阵的定义

### 第10题 10．当 $t$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的．

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-3 x_{4}=0 \\\\ x_{1}+x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right.$ $$ 的基础解系是 $\_\_\_\_$ ． --- （疑似OCR编号错误，以下内容可能属于其他题目） 2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3} $$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第283题 283 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-3$ ，则 $\left|-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． （i）

### 第288题 288 设 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第290题 290 已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的逆矩阵 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第291题 291 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \boldsymbol{A}\right]=$ $\_\_\_\_$。

### 第297题 297 若 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 6\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}=0 \end{array}\right.$ $$ 的基础解系是 $\_\_\_\_$ ．

### 第322题 322 （2002，数二）矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right]$ 的非零特征值是 $\_\_\_\_$ ．

### 第330题 330 已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第333题 333 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第338题 338 若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

### 第348题 348 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=-2$ ，则 $\displaystyle \left|\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{*}\right|=$ （A）$\displaystyle \frac{8}{27}$ ． （B）$\displaystyle \frac{4}{27}$ ． （C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{4}{3}$ ．

### 第353题 353 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，正确的法则是 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$ ． （B）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ ． （C）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$ ． （D）$(\boldsymbol{A B})^{*}=\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}$ ． □

### 第358题 358 已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵，则错误的是 （A）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]$. （B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$. （C）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{n} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{n}\end{array}\right]$. （D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{n} \\ \boldsymbol{B}^{n} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．

### 第359题 359 已知 $\boldsymbol{X A}+2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{X}=$ （A）$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{cc}-1 & 3 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ ． （C）$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & 1\end{array}\right]$ ． （D）$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ -3 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$ ．

### 第361题 361 下列矩阵中，行最简矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．

### 第407题 407 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，那么与 $\boldsymbol{A}$ 有相同特征值的矩阵是 （A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ． （B） $\boldsymbol{A}^{2}$ ． （C） $\boldsymbol{A}^{-1}$ ． （D） $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ ． 408 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=1$ ，则 $\lambda=0$

### 第416题 416 设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$ ，若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则下列矩阵中可逆矩阵是 （A） $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}$ ． （B） $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}$ ． （C） $\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}$ ． （D） $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ．

### 第417题 417 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，则下列命题中 （1） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ， （2） $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$, （3） $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ， （4） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$,正确的命题共有 （A） 4 个． （B） 3 个． （C） 2 个． （D） 1 个．