向量在基下的坐标

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+2 y^{2}\right)}$ ，曲线 $y=y(x)$ 上任一点 $P$ 的切线方向始终指向 $f(x, y)$ 变化率最大的方向，且 $y(1)=2$ ，则 $y(x)=(\quad)$ 。 （A） $2 x^{2}$ （B）$x^{2}+x$ （C） $\mathrm{e}^{-x^{2}+1}+x$ （D） $2 \mathrm{e}^{-x^{2}+1}$

### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知函数 $z=f(x, y)$ 可微，其在点 $P_{0}(1,2)$ 处沿从 $P_{0}$ 到 $P_{1}(2,3)$ 的方向的方向导数为 $2 \sqrt{2}$ ，沿从 $P_{0}$ 到 $P_{2}(1,0)$ 的方向的方向导数为 -3 ，则 $z$ 在点 $P_{0}$ 处的最大方向导数为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $\boldsymbol{A}_{3 \times 3}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有通解 $k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}=k[1,2,-3]^{\mathrm{T}}+[2,-1,1]^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k$是任意常数，又设 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，求方程组 $B \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解。 ## 第6章 二次型

### 【强化篇】第12题（选择题） 12．已知 $f(x, y)= \begin{cases}x^{2}, & y=0, \\ x y, & \text { 其他，} l \text { 是单位向量．以下结论：}\end{cases}$ （1）$f(x, y)$ 在原点处连续； （2）$\displaystyle \left.\frac{\partial[f(x, y)]}{\partial l}\right|_{(0,0)}=0$ ； （3）$\left.\mathrm{d}[f(x, y)]\right|_{(0,0)}=0$ ． 所有正确结论的序号是 ． （A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）（1）（3） （D）（1）（2）（3）

### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\Sigma$ 为平面 $x-y+z=1$ 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角， $f(x)$ 阵续，则 $\int_{\Sigma}\left[\int_{\Sigma}(x z)+x\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[2 f(x z)+y] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[f(x z)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均是 3 阶方阵，满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ ，其中 $$ $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}$ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & a $\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{lll}$ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 $\end{array}\right],$ $$ 结宇宯研数学蹋源探析经典 1000 题（数学－） 则必有 ）． $(\mathrm{A}) a=-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=1$ （B）$a=-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$ （C）$a \neq-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=1$ （D）$a \neq-1$ 时，$r(\boldsymbol{A})=2$

### 【强化篇】第14题（解答题） 14．在曲面 $\Sigma: x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 上求一点，使函数 $f(x, y, z)=2 x^{2}+y^{2}+z$ 在该点沿方向 $n$ 的方向导数最大，其中 $\boldsymbol{n}$ 是曲面 $\Sigma$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的外侧法向量．

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $\boldsymbol{u}=\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+y z\right) i+\left(x z-\mathrm{e}^{x} \sin y\right) j+(a x y+z) k$ 是某三元函数 $f(x, y, z)$ 的梯度向量， $f(1,0,1)=\mathrm{e}$ ． （1）求 $a$ 的值； （2）求 $f(x, y, z)$ 的表达式． ## 第18章 多元函数积分学

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{s}$ 线性无关，若向量 $\beta_{1}$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，向量 $\beta_{2}$ 不能由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，则必有（ ）。 （A）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性相关 （B）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关 （C）向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}$ 线性相关 （D）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关

### 【强化篇】第28题（填空题） 28．设 $y=1, y=\mathrm{e}^{-x}, y=2 \mathrm{e}^{-x}$ 为某二阶常系数线性微分方程的解，则该微分方程为 $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第3题（填空题） 3．过点 $(1,0,1)$ 与 $(0,1,1)$ 且与曲面 $z=1+x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．空间曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=z, \\ x=2(y-1)\end{array}\right.$ 在 $y=1$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第4题（填空题） 4．曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6, \\ x+y+z=3\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>2)$ 阶方阵，$r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解，$k$ 为任意常数，则方程组 $A x=b$ 的通解为 ）． （A）$(k-1) \boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （B）$(k-1) \boldsymbol{\alpha}_{1}-k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （C）$(k+1) \boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{2}$ （D）$(k+1) \boldsymbol{\alpha}_{1}-k \boldsymbol{\alpha}_{2}$

### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关， $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关。 （1）证明：存在 3 维非零列向量 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi}$ 既可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性表示； （2）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,-2,3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=[2,1,1]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{1}=[-2,1,4]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=[-5,-3,5]^{\mathrm{T}}$ ，求既可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性表示，也可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性表示的所有非零列向量 $\boldsymbol{\xi}$ ．

### 第591题 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \neq \mathbf{0}$ ，若 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，则 $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=$ $\_\_\_\_$ ．

## 第591题 (线性代数 - 填空题) 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \neq \mathbf{0}$ ，若 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，则 $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第592题 过点 $P(-1,0,4)$ 且与平面 $3 x-4 y+z+10=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle L: \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}= \frac{z}{2}$ 相交的直线方程是 $\_\_\_\_$ ．

## 第592题 (高等数学 - 填空题) 过点 $P(-1,0,4)$ 且与平面 $3 x-4 y+z+10=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle L: \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}= \frac{z}{2}$ 相交的直线方程是 $\_\_\_\_$ ．

### 第593题 直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 y+3 z-5=0 \\ x-2 y-z+7=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x-y+3 z+8=0$ 上的投影方程为 $\_\_\_\_$。