概率的统计定义

### 【基础篇】第11题（解答题） 11．已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 求 $Y=X^{2}+1$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ 。 ## 第3章 多维随机变量及其分布

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 。将试验 $E$独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 ）． （A）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle -\frac{1}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{4}\right)$ ，随机变量 $\displaystyle Y \sim B\left(1, \frac{1}{6}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Y)=\frac{1}{24}$ ．求： （1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布； （2）$X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ； （3）$P\{X Y=0\}$ 的值。

### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ ． （A）不相关的充分非必要条件 （B）不相关的充分必要条件 （C）独立的充分非必要条件 （D）独立的充分必要条件

### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设总体 $\displaystyle X \sim\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ \frac{\theta}{4 N} & \frac{\theta}{2 N} & \frac{4 N-3 \theta}{4 N}\end{array}\right)$ ，其中 $N>0$ 已知，$\theta>0$ 未知，设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，取到 0 的个数为 $n_{0}$ ，取到 1 的个数为 $n_{1}$ ，取到 2 的个数为 $n_{2}$ ，即 $n_{0}+n_{1}+n_{2}=n$ ． （1）求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{1}$ 和最大似然估计量 $\hat{\theta}_{2}$ ； （2）求 $\dot{\theta}_{1}$ 和 $\dot{\theta}_{2}$ 的数学期望； （3）求 $\hat{\theta}_{1}$ 和 $\hat{\theta}_{2}$ 的方差。

### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $A$ 和 $B$ 是概梁不等于 0 和 1 的任意两个事件，且满足 $P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$ ，则事件 $A$和 $B$ —定 $\_\_\_\_$ ． ## 第1章 随机事件和概率

### 【强化篇】第13题（填空题） 13．已知两只灯泡的寿命独立同分布于期望为 2 的指数分布．第一只灯泡先亮，若 1 小时内第一只灯泡坏掉，则在第 1 小时时第二只灯泡才亮；若 1 小时内第一只灯泡未坏掉，则在第一只灯泡坏掉时，立即点亮第二只灯泡。令 $T$ 为从点亮第一只灯泡直到第二只灯泡坏掉的时间，则 $E(T)=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right), Z_{1}=X Y, Z_{2}=\frac{X}{Y}$ ，则 ． （A）$X, Y, Z_{1}$ 相互独立 （B）$Y, Z_{1}, Z_{2}$ 相互独立 （C）$X, Z_{1}, Z_{2}$ 两两独立 （D）$X, Y, Z_{2}$ 不相互独立

### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设总体 $X$ 服从 $(0, \theta]$ 上的均匀分布，$\theta>0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （2）求 $\displaystyle Z=\frac{\hat{\theta}}{\theta}$ 的分布函数； （3）若 $P\left\{\hat{\theta}<\theta<\theta_{0}\right\}=1-\alpha, 0<\alpha<1$ ，求 $\theta_{0}$ ．

### 【强化篇】第15题（选择题） 15．独立重复拋掷一枚均匀硬币两次，记 $$ X_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { 出现正面, } \\ 0, & \text { 出现反面, } $\end{array} i=1,2,\right.$ $$ 则 $X_{1}+X_{2}$ 与 $X_{1}-X_{2}$（ ）。 （A）独立，不相关 （B）不独立，不相关 （C）独立，相关 （D）不独立，相关

### 【基础篇】第16题（填空题） 16．设随机变量 $X, Y$ 均服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，且 $\displaystyle \rho_{X Y}=-\frac{1}{2}, U=2 X+Y$ ，则 $U$ 与 $X$ 的相关系数为 $\_\_\_\_$ ．