数列极限的定义（ε-N语言）

### 第123题 123 有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在， （1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在． （2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在． （3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在． （4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在． 则以上命题中正确的个数是 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 124设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)}, \\ 0,\end{array}\right.$ $$ $\begin{aligned}$ & x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\ & \qquad x=2 \\ & \text { (B) 在 }(2,+\infty) \text { 区间有界. } \\ & \text { (D) 在 }(1,2) \text { 和 }(2,+\infty) \text { 区间都无界. } \end{aligned} $$ （A）在 $(1,2)$ 区间有界． （C）在 $(1,+\infty)$ 区间有界． ✓

### 第125题 125 下列命题中正确的是 （A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ． （B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ． （C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ． （D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ． □

### 第126题 $\displaystyle 126 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}+\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}\right\}=$ （A）-1 ． （B） 1 ． （C）e． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ ．

### 第127题 127 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的 （A）高阶无穷小。 （B）低阶无穷小。 （C）等价无穷小． （D）同阶但非等价无穷小。

### 第128题 128 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ． （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．

### 第129题 $\displaystyle 129 f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有 （A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ． （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ． （C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ． （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ ．

### 第130题 $\displaystyle 130 I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$ （A） 0 ． （B）$\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{1}{8}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{12}$ ．

### 第131题 131 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则 （A）$k=2, a=1$ ． （B）$k=-2, a=-1$ ． （C）$k=2, a=-2$ ． （D）$k=2, a=-1$ ．

### 第132题 132． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D） 0 ．

### 第133题 $\displaystyle 133 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle e^{-\frac{1}{4}}$ ． （C）$\displaystyle e^{-\frac{1}{3}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ．

### 第134题 134 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则 （A）$a=5, b=-2$ ． （B）$a=-2, b=5$ ． （C）$a=2, b=0$ ． （D）$a=3, b=-3$ ．

### 第135题 135 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$ （A） 0 ． （B） 35 ． （C） 36 ． （D）$\infty$ ．

### 第136题 136
下列各题计算过程中正确无误的是 （A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ． （B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在． （D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ．

### 第137题 $\displaystyle 137 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$ （A） 3 ． （B） 2 ． （C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．